Следящие системы

Петлевой  коэффициент выбирается из трех условий.

По первому  условию необходимо обеспечить величину динамической ошибки при воздействиях, обеспечивающих постоянное значение ошибок в стационарном режиме: ступенчатая  функция для статических систем, включение линейно или квадратично  меняющихся воздействий для систем, соответственно, с астатизмом первого  или второго порядков. Необходимые  значения коэффициентов передачи находятся  с помощью формул:

Необходимо  обеспечить, чтобы динамическая ошибка в стационарном режиме не   превышала   значения   5%   полуапертуры  дискриминатора  системы,  что  составляет:

Х_Д1=0,05·Q=0,05·1,6=0,08̊

Минимально  допустимое значение номинального коэффициента усиления определяется выражением:

К_П1=α₁/Х_Д1, К_П1=175 с^-1

Второе  условие требует выбора петлевого  усиления таким образом, чтобы амплитуда  ошибки, вызванной действием гармонического воздействия l(t), не превышала заданного значения. Амплитуда эквивалентного динамического воздействия равна:

,

с^-1,

где – производная воздействия по времени (скорость воздействия); – вторая производная (ускорение) воздействия по времени.

Комплексный коэффициент передачи системы первого  порядка астатизма в разомкнутом  состоянии выглядит следующим образом:

.

Амплитуда ошибки слежения Х_м в стационарном режиме может быть найдена из приближенного выражения:

 

Из условия, что максимальное значение ошибки в  переходном режиме не должно превышать  значения 80% полуапертуры дискриминатора системы при заданном значении скачка скорости воздействия:

Максимальное  значение ошибки слежения при ступенчатом  изменении скорости параметра l(t) приближенно равно:

При этом должно выполняться условие:   Х_макс<0,8Q

К_П>24,049.

Исходя  из этих условий выбираем:

К_П=200.

2.2 Расчет системы без коррекции

Передаточная  функция системы с астатизмом первого порядка в разомкнутом  состоянии имеет вид:

Для исследования устойчивости полученной системы, рассчитаем логарифмическую амплитудно-частотную  L(jw) и фазочастотную j(jw) характеристики:

где

Для построения воспользуемся программным продуктом  RRSystem, построенные ЛАХ и ФЧХ представлены в ПРИЛОЖЕНИИ 1.

ЛАХ системы  имеет наклон системы в области  частоты среза -20дБ/дек.

Частота среза ω_ср = 12,186 рад.

Запас устойчивости по фазе φ_зап = 4̊

Как видно, система имеет недостаточный  запас устойчивости по фазе. Для  коррекции используем последовательную цепь – пропорционально-интегрирующий  фильтр.

2.3 Расчет корректирующего звена

В числе  наиболее популярных корректирующих цепей  – пропорционально-интегрирующий  фильтр, имеющий передаточную функцию:

,

где Т₁ и Т₂ – постоянные времени.

b_с = p/2 – j_зап, примем b_с = 1 рад, тогда j_зап = 32,7̊.

→ω_ср = 17,44 рад.

Постоянная  времени форсирующего звена:

, Т₁ = 0,105 сек.

Постоянная  времени инерционного звена:

, Т₂ = 0,014 сек.

Полученные  ЛАХ и ФЧХ представлены в ПРИЛОЖЕНИИ 2.

2.4 Расчет системы с коррекцией

Передаточная  функция с корректирующим звеном:

Для исследования устойчивости полученной системы, рассчитаем логарифмическую амплитудно-частотную  L(jw) и фазочастотную j(jw) характеристики:

где

Полученные  характеристики представлены в ПРИЛОЖЕНИИ 3.

Частота среза ω_ср = 17,418 рад.

Запас устойчивости по фазе φ_зап ≈ 48̊

Полученные  данные свидетельствуют об устойчивости полученной системы:

1. Частота среза находится на участке характеристики с наклоном -20дБ/дек.
2. Запас устойчивости по фазе превышает 30̊.
3. Наклон ЛАХ не превышает -40дБ/дек.
4. АФХ системы не охватывает точку (-1;0).

2.5 Расчет дисперсии ошибки слежения

Для расчета  дисперсии ошибки, вызванной действием  помех, необходимо знание статистического  эквивалента дискриминатора – его  дискриминационной и флуктуационной характеристики. Как известно, первая является зависимостью математического  ожидания напряжения на выходе дискриминатора от ошибки слежения, а вторая – зависимостью интенсивности помехи на выходе дискриминатора от ошибки слежения. В целом напряжение на выходе дискриминатора U_Д(t) имеет вид:

, 

где  x – ошибка слежения;

n(t) – помеха на выходе дискриминатора;

F(x) – условное математическое ожидание напряжения U_Д(t)

 при  фиксированном x(t).

F(x) = <U_д(t)>|_x

Для расчета  дисперсии флуктуационной составляющей ошибки слежения можно воспользоваться  частотным методом:

,

где S_э(w) – спектральная плотность мощности помехи n(t), пересчитанной на вход дискриминатора (спектральная плотность эквивалентной помехи);

K(jw) – комплексный коэффициент передачи замкнутой следящей системы.

S_э(w) = S_n(w)/K_Д²

Комплексный коэффициент передачи замкнутой следящей системы:

_{Для системы первого  порядка астатизма:}

_,

_{где B(s)=КП(1+jωT1);}

_{C(s)=jω(1+jωT)(1+jωT2)+КП(1+jωT1);}

_{A(s)=B(s)+C(s)= КП(1+jωT1)+ jω(1+jωT)(1+jωT2);}

С₀=К_П=200;

C₁=K_П·T₁=200·0,105=21;

С₂=0;

d₀=К_П=200;

d₁=1+К_ПТ₁=1+200·0,105=22;

d₂=Т+Т₂=1,2+0,014=1,214;

d₃=Т·Т₂=1,2·0,014=0,0168.

Порядок системы n=3, тогда:

Шумовая полоса:

.

Спектральная  плотность S_э эквивалентной помехи определяется типом и параметрами дискриминатора, а также отношением мощностей сигнала и помехи q² на выходе линейной части дискриминатора. Обычно для нахождения ее значения необходимо провести анализ помехоустойчивости дискриминатора, т.е. рассмотреть прохождение смеси сигнала и помехи через тракт выбранного дискриминатора. Такая задача является достаточно сложной, поэтому при выполнении настоящей курсовой работы необходимо использовать типовые функциональные схемы дискриминаторов, для которых получены выражения для спектральной плотности S_э. Для исследуемой системы:

,

где q² – отношение мощностей сигнала и помехи на выходе линейной части дискриминатора;