Разложение периодического сигнала в ряд Фурье

 

 

 

 

 

Министерство транспорта Российской федерации (Минтранс России)

Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация)

Федеральное Государственное бюджетное образовательное

учреждение профессионального высшего образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДНСКОЙ АВИАЦИИ

 

Кафедра №12

ОТЧЕТ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И  СИГНАЛОВ»

Выполнил студент группы

Арбатский С.А

Номер зачетной книжки

Санкт-Петербург

2014 

 

Часть 1. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье.

 

Исходный сигнал представлен на рис.1.

 

Рис.1. Исходный сигнал

 

 

Для данного сигнала заданы Т=0.001 с  и Xm=1 B.

Требуется найти коэффициенты ряда Фурье для заданного сигнала.

 

1. Аналитический метод нахождения коэффициентов ряда Фурье.

 

Для вычисления коэффициентов ряда Фурье воспользуемся  уравнениями следующего вида  (подробнее см. Главу 1. учебного пособия [6].)

 

или                              

                        

 

                                                            

где

 

 

Исходный сигнал аналитически задается функцией

 

 

Вычислим коэффициенты ряда Фурье по приведенным формулам

 

 

 

 

так как

 

 

Амплитудный спектр исходного сигнала  представлен на рис.2.

 

Рис.2. Амплитудный спектр исследуемого сигнала

 

 

 

Для полного представления исходного сигнала одного амплитудного спектра недостаточно. Требуется  учитывать и фазовый спектр, который определяется как

 

и в анализируемом случае для нечетных значений гармоник будет нулевым.

 

 

2. Численный способ определения коэффициентов ряда Фурье

 

Для численного решения поставленной задачи воспользуемся компьютерной программой MathCad. Результаты моделирования представлены на рис.3.

 

Период анализируемой функции     Максимальное число учитываемых членов ряда Фурье   формирование одного периода исследуемого сигнала   график одного периода исследуемого сигнала Амплитудный спектр анализируемого сигнала Задание аппроксимирующей функции Задание интервала для численного моделирования Графики исходного сигнала и его аппроксимации Коэффициенты ряда Фурье

Рис.3. Численный расчет коэффициентов ряда Фурье

 

 

 

3. Имитационное моделирование аппроксимации исходного сигнала   рядом Фурье.

 

Воспользуемся результатами по вычислению коэффициентов ряда Фурье для заданного сигнала, полученными в разделах 1.1 и 1.2.

Произведем восстановление исходного сигнала по десяти гармоникам.  Для моделирования каждой гармоники воспользуемся  источниками переменного напряжения соответствующих частот. 

Соотношения амплитуд выбранных источников переменного напряжения сохраним в соответствии с полученными ранее уравнениями для коэффициентов ряда Фурье .

Результаты имитационного моделирования представлены на рис.4.

 

 

Рис.4.  Восстановление исходного сигнала по гармоникам

 

 

 

Часть 2. Исследование временных и частотных характеристик линейной цепи с постоянными параметрами

 

2.1. Определение  передаточной функции и частотной  передаточной функции (комплексного  коэффициента передачи) для заданной  линейной цепи.

 

 

Найдем частотную передаточную функцию по напряжению в режиме холостого хода для четырехполюсника,  схема которого приведена на рис. 5.

Исходные численные значения параметров элементов электрической схемы следующие:

значение индуктивности ;

значение емкости ;

значение сопротивления резистора .

Рис.5. Схема исследуемой цепи

Используя операторный метод описания цепей, для данного случая запишем следующие уравнения

 

 

 

 

 

    откуда получаем  передаточную функцию в форме  переменной Лапласа в виде

 

 

Так как

 

 

 

2.2. Определение  временных и частотных характеристик  исследуемой линейной цепи.

 

Для нахождения временных и частотных характеристик анализируемой цепи воспользуемся компьютерной программой MATLAB. 

 

m-файл сценария моделирования приведен на рис.6.

 

clear,clc R=1000;    % задание  исходных параметров цепи C=0.001; L=0.01; A2=L*C*R;   % расчет коэффициентов ПФ A1=L+C*R*R; A0=R; B2=L*C*R; B1=C*R*R+L; B0=2*R; Num=[A2 A1 A0];  % задание параметров числителя ПФ Den=[B2 B1 B0];  % задание параметров знаменателя ПФ W=tf(Num,Den);   % формирование модели системы в tf-форме subplot(2,2,1);bode(W);grid on;   % построение диаграммы Боде subplot(2,2,2);nyquist(W);grid on; % вычисление годографа Найквиста subplot(2,2,3);step(W);grid on ;    %  определение переходной функции subplot(2,2,4);impulse(W);grid on % определение импульсной переходной функции

Рис.6. Построение временных и частотных характеристик для исследуемой цепи

 

 

 

Результаты моделирования представлены на рис.7.

 

W =    0.01 s^2 + 1000 s + 1000   ---------------------------------   0.01 s^2 + 1000 s + 2000 Continuous-time transfer function.

Рис.7. Результаты численного моделирования

 

 

2.3. Определение  частотных характеристик исследуемой  линейной цепи путем имитационного  моделирования.

 

Для нахождения  частотных характеристик анализируемой цепи воспользуемся компьютерной программой MULTISIM. 

 Схема моделируемой  цепи и результаты моделирования  по нахождению амплитудно-частотной  и фазово-частотной характеристик  исследуемой цепи приведены на  рис.8.

Рис.8. Определение амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик исследуемой цепи

 

 

 

 

Часть 3. Прохождение периодического сигнала через линейные цепи.

 

3.1. Теоретические  основы расчета цепей для периодических  сигналов произвольной формы.

 

После того как получено разложение входного сигнала в ряд Фурье, можно приступить к расчету цепи, воспользовавшись символическим методом (подробнее см. Главу 5. учебного пособия [6].)

 

Рассмотрим простую RLC - цепь, схема которой представлена на рис.9.

 

Рис.9. Схема RLC цепи

 

 

 

На вход данной цепи подаем несинусоидальное напряжение e(t). Пусть вид данного напряжения совпадает с сигналом, изображенным на рис.1. Тогда  в соответствии с ранее полученными результатами это напряжение может быть представлено рядом:

 

 

Для произвольного значения частоты комплектное сопротивление цепи имеет вид

 

 

отсюда для каждой из гармоник разложения исходного сигнала можно найти соответствующее комплексное сопротивление цепи

 

 

и т.д.

 

Теперь используя Z(k), для каждой составляющей входного напряжения

 

и т.д.

можно вычислить соответствующий ток I(1), I(3), I(5) и определить суммарный ток в цепи

 

 

 

 

I = I(1)+ I(3)+ I(5) + ∙∙∙

 

т.е. расчет в цепи для каждой гармоники ведется обычным методом анализа цепи в установившемся режиме, а результат определится как сумма реакций на все гармоники.

 

Если входной несиносоидальный сигнал таков, что его разложение в ряд Фурье содержит член , (что свидетельствует о наличии постоянной составляющей), то дополнительно к реакции на гармоники следует рассчитать реакцию на постоянную составляющую. При этом необходимо разомкнуть ветви с емкости (Zc(o) = ∞) и закоротить индуктивности (ZL(o)=0) и рассчитать полученную  резистивную цепь.

 

Для цепи, схема которой приведенной на рис.5 , легко проделать подобную процедуру, приняв во внимание, что

 

 

С учетом представления исходного напряжения в виде соответствующего ряда данное выражение можно представить как сумму реакций цепи на каждое их входных воздействий, соответствующих гармоникам исходного сигнала

 

 

 

Дальнейший переход к временному представлению временного сигнала очевиден.

Вид выходного сигнала также возможно  определить с помощью амплитудно-частотной и  фазово-частотной характеристик исследуемой цепи,  ранее полученных в п.2., а именно

 

 

 

 

 

 

где  – амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики исследуемой цепи соответственно.

Амплитудно-частотная и фазово-частотная  характеристики  цепи, как было показано ранее, могут быть определены аналитически или путем имитационного моделирования.

 

 

3.2. Имитационное  моделирование процесса прохождения  периодического сигнала через  линейную цепь

 

Моделирование процесса прохождения заданного периодического несинусоидального сигнала через  заданную линейную цепь проведем с помощью компьютерной программы Multisim.

 

Схема для моделирования  и полученные результаты представлены на рис. 10.

Рис.10. Результаты моделирования процесса прохождения  периодического сигнала через заданную линейную цепь.

 

 

 

 

 

4. Содержание отчета.

Отчет по курсовой работе выполняется в соответствии с требованиями действующих стандартов по оформлению технической документации и должен содержать следующие обязательные разделы:

- описание характеристик  заданного преподавателем исходного  периодического сигнала,

-схему и характеристики  исследуемой линейной цепи,

-аналитический расчет  коэффициентов ряда Фурье для  заданного сигнала,

- численный расчет коэффициентов  ряда Фурье для заданного сигнала,

- результаты имитационного  моделирования  для восстановления  сигнала по заданному преподавателем  числу используемых гармоник,

- аналитический вывод  передаточной функции заданной  линейной цепи,

- нахождение частотной  передаточной функции (комплексного  коэффициента передачи) для заданной  цепи,

- численный расчет временных  и частотных характеристик исследуемой цепи,

- нахождение амплитудно-частотной  и фазово-частотной характеристик  исследуемой цепи с использованием  имитационного моделирования,

- имитационное моделирование  процесса  прохождение исходного  сигнала (или аппроксимирующего  сигнала) через заданную линейную  цепь,

- выводы по результатам  произведенных вычислений и моделирования.

 

5. Рекомендуемая  литература.

 

1.	Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов по спец. "Радиотехника"- "Радиотехника"-.М: Высш. шк., 2000 – 462 с.
2.	Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы.: Учебное пособие для вузов – М.: Дрофа, 2006, - 608 с.
3.	Дьяконов В.П. MATLAB R2007/2008/2009  для радиоинженеров. М.:ДМК Пресс,2010.-776 с. ил.
4.	Каганов В.И. Радиотехника+компьютер+MathCad.-М.: Горячая линия- Телеком, 2001.-416 с.: ил.
5.	Кардашев Г.А. Виртуальная электроника. Компьютерное моделирование аналоговых устройств. М.: Горячая линия-Телеком, 2012,20 с.: ил.
6.	Кудряков С.А. Основы теории радиотехнических сигналов и цепей. (Учебное пособие).- С. Пб. :  Изд-во «Свое Издательство», 2014.- 325 с.
7.	Любимов Э.В. Mathcad. Теория и практика проведения электротехнических расчетов в среде mathcad  и multisim .- СПб.: Наука и Техника, 2012.- 400 с.: ил.
8.	Макаров Е. Инженерные расчеты в Mathcad 15: учебный курс.-СПб: Питер, 2011,-400 с.: ил.
9.	Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. Стандарт третьего поколения/под ред. В.Н. Ушакова- СПб. : Питер, 2014,  336с.: ил.
10.	Теоретические основы радиотехники :Учеб.пособие/ М.Т.Иванов, А.Б. Сергиенко, В.Н. Ушаков; под. ред. В.Н. Ушакова.- М.: Высш.шк.,2002.- 306 с.
11.	Хернитер Марк Е. Multisim 7: Современная система компьютерного моделированния и анализа схем электронных устройств.(Пер. с англ.)/ Пер. с англ.Осипов А.И..-М. :Издательский дом ДМК-пресс, 2006.-488 с.:ил.
12.	Шестеркин А.Н. Система моделирования и исследования радиоэлектронных устройств  Multisim 10.-М.:ДМК Пресс, 2012.-360 с.