Передаточная  функция ПИ-звена.

  Выясним, чем определяется передаточная функция  звена с операционным усилителем. Напомним, что когда усилитель работает на линейном участке выходной характеристики, то значение U₀  не превышает нескольких мВ. Так как прямой вход ОУ соединен с корпусом, напряжение которого всегда считается равным 0, то учитывая значение U₀ можно считать напряжение на инвертирующем входе ОУ тоже близко к 0.Напомним также о втором допущении: ток (измеряется в нА), иначе говоря, можно считать, что I_ос=I_вх. Рассмотрим схему с операционным усилителем в общем, виде, используя упомянутые ранее допущения.

  Так как  , то I_ос=I_вх. Этот ток I_вх запишем в изображениях: 

   , также   ;

    ,поэтому: приравнивая I_ос=I_вх получим   .

  Отсюда    - это идеальное выражение для передаточной функции. Реальное же изображение осложнено следующей дробью

   , где Z_вх – входное сопротивление собственно усилителя.

  Учитывая  заданную формулу напряжения U_выхI, запишем ее в изображениях:

   , отсюда передаточная функция  имеет вид:

   .

  Из  предыдущего очевидно, что  ,  , где .

  Выполним  пункт 7 задания, где надо построить  логарифмические амплитудно-фазовые характеристики ПИ-звена.

  Т.к. АФХ является функцией частоты w, необходимо в выражение W_пи(r) подставить вместо r=jw, получим: .

  Освободимся от мнимости во втором слагаемом, для  чего умножим его и разделим на j, а т.к. j²=-1 получим:

   .

  Как и любое комплексное число  W_пи(jw) имеет действительные и мнимые части: , где , а .

  Найдем  модуль АФХ:

   .

  Фаза  АФХ:

   , т.к. функция tg – нечетная. Здесь w - абсолютная частота. Введем понятие относительной частоты, понимая под ней отношение: , где Т₁ – постоянная времени интегрирующей части звена.

   (с).

   (1/с).

  С полученными цифрами действительная и мнимая части оказываются равными: , а .

  Используя Re и Im найдем модуль и фазу АФХ:

    ;

   . 
 

  Задаваясь рядом относительных частот от 0,01 до 100, подсчитаем абсолютное значение частот и, подставляя их в формулы для расчета модуля и фазы АФХ, рассчитаем точки модуля и фазы: w_абс, lgw_абс, |W(jw)|, 20lg|W(jw)|, j(jw). Результаты вычислений сведем в таблицу: 
 

                  

              По данным таблицы построены: ЛАЧХ и ЛФЧХ:

 

 

  ЛАЧХ удобно интерпретировать асимптотическими отрезками  прямых линий. На рисунке показаны эти  асимптоты: интегрирующая асимптота  имеет наклон -20 дб/дек, а асимптота пропорциональной составляющей почти горизонтальна. Точка пересечения этих асимптот определяет частоту сопряжения, которая оказывается равной 132 (1/с).

  Подчеркнем, что сопрягающая частота абсолютная.

  Опуская перпендикуляр вниз из ω_сопр до пересечения с фазовой характеристикой, можно определить фазу сопряжения: φ_сопр=45^˚, значит w_сопр=100 1/c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Расчет пропорционально-дифференциального  усилителя.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Эта схема должна обеспечить на выходе напряжение, связанное со входным  выражением:

   .

  Расчет  целесообразно начать с выполнения условия пункта 3, как и при  расчете пропорционально-интегрального  звена, то есть что падение напряжения на R_внутр не должно превышать 1% от напряжения U_вх2. Так как постоянный ток от U_вх2 протекает по сопротивлению R₆, то условие пункта 3 сведется к выполнению неравенства:

,

      отсюда     .

  Обеспечение заданного a. 

  Найдем  значение резистора R₅, которое обеспечивает пропорциональную составляющую U_вых2:

   , где по условию l=0,10;  следовательно .

  Обеспечение заданного b. 

  Для обеспечения дифференциальной составляющей нужно обеспечить заданное d:

    и d=0,80 , то .

  Знаки « - »  в  заданной  формуле свидетельствуют, что напряжение U_вх2 должно быть подано на инвертирующий вход ОУ.

  Для компенсации смещения U_см, возникающего за счет не идентичности параметров входных транзисторов операционного усилителя включено компенсационное сопротивление R₇, на котором ток I⁺_вх создавал бы падение напряжения примерно равное  I^-_вх, протекающего по параллельно соединенным R₅  и R₆, а значит, сопротивление R₇ найдем по формуле:

     , отсюда .

  Сравнение параметров идеальной  и реальной схем.

  Оценим  фактические параметры схемы  ПД - регулятора:

      
 
 
 

    

      

  Результаты  сравнения удобно представить в  виде таблицы: 
 

 
 
 

  Определение формы выходного  напряжения в схеме  ПД-звена ОУ.

  В пункте 4 указано, что  входной сигнал U₂ треугольной формы с амплитудой  ±1В и периодом 1,0 сек. Таким образом, U_вх2 имеет вид:

    

  Найдем  производную на отдельных участках времени. На участке t=0…0,25 сек. U_вх2 изменяется по формуле:

   , то есть изменяется с неизменной производной  равной 4 В/c.

  Дифференциальная  составляющая определяется по формуле:

  

   Аналогично на участке t=0,25…0,75 сек составляющая U₁ будет положительна, то есть U₁=+2,4В. На участке t=0,75…1,25 U₁=-2,4В и т.д., таким образом, она имеет вид:

    

  Найдем  пропорциональную составляющую по формуле:

  

  Таким образом, пропорциональная составляющая повторяет  форму входного напряжения, но с  уменьшенной в 0,3 амплитудой и обратным знаком:

    

  Полное  выходное напряжение ПД-звена будет иметь вид:

    
 

  Оценим  наибольшее значение выходного тока ПД-звена, учитывая, что к звену  подключена нагрузка, равная как указано  в пункте 5 задания: R_н=2кОм.

  Наибольшее  значение тока в нагрузке:

  

  Отметим, что это значение тока в нагрузке значительно меньше допустимого значения выходного тока для  ОУ  К153УД6, равного 10мА.

  Оценим  внутреннее падение напряжения от указанного тока на фактическом значении R_вых2 схемы, которое было получено ранее равным  0,0033Ом. 

  

 

  Передаточная  функция ПД-звена.

  Перейдя к изображениям для пропорционально-дифференциального звена, получим выражение:

  

.

  Отсюда  передаточная функция ПД-звена:

  

.

  Подставив вместо r=jw, получим АФХ:

  

. 
 

  Найдем  модуль АФХ:

;

  Фаза  АФХ:

  

.

  Действительная  и мнимая части равны:

     ;

     .

  Используя Re и Im найдем модуль и фазу АФХ:

     ;