Разработка специализированного программного модуля

2.2 Математическое описание решения СЛАУ методом итераций

     Пусть  дана  система  n  линейных  алгебраических  уравнений  с  n неизвестными:

     a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1n x_n=b₁,

     a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2n x_n=b₂,                   (10)

                      …

     a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nn x_n=b_n,

     Для решения СЛАУ итерационными методами преобразуем систему от формы (8) к виду: 

     x₁ = (a_1,n+1-a₁₁x₁-a₁₂x₂-…-a_1nx_n)/a₁₁+x₁,

     x₂ = (a_2,n+1-a₂₁x₁-a₂₂x₂-…-a_2nx_n)/a₂₂+x₂,

                         …                                                     (11)

     x_n = (an_,n+1-a_n1x₁-a_n2x₂-…-an_nx_n)/a_nn+x_n;

     Задав столбец начальных приближений х₁⁰, х₂⁰,..., х_n°, подставим их в правые части системы (11) и вычислим новые приближения х₁¹, х₂¹..., х_n¹ которые опять подставим в систему (11) и т.д. Таким образом, организуется итерационный процесс, являющийся обобщением метода простых итераций на системы уравнений: 

     x₁^(m+1) = φ₁(x₁^(m),x₂^(m),…,x_n^(m)),

     x₂^(m+1) = φ₂(x₁^(m),x₂^(m),…,x_n^(m)),

                        …

     x_n^(m+1) = φ_n(x₁^(m),x₂^(m),…,x_n^(m)); 

     Для сходимости итерационных методов необходимо, значение диагональных элементов матрицы СЛАУ  превосходили остальные, что снижает применимость метода простых итераций (хотя системы СЛАУ можно привести к нужному  для сходимости виду с помощью эквивалентных преобразований)

     Итерационный процесс заканчивается, когда выполнятся условие:

 
     | x_k ^(m+1)-x_k^(m) |<ε.                                             (12) 

     где ε - заданная погрешность; k=l,2,..,n. 
 
 
 
 

     3 Разработка алгоритма 

     Опишем  блок-схемы алгоритмов каждой функции. На рисунке 1 представлена блок-схема функции main() – главной функции программы. 
 

     Рисунок 1 – блок – схема алгоритма функции main() 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     На  рисунке 2 представлена блок-схема функции vvod() ввода исходных данных при решении системы.

     

Рисунок 2 – блок – схема алгоритма функции vvod()

     По  данной блок – схеме сначала надо ввести количество переменных t, а затем элементы матрицы a[t][t+1], составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     На  рисунке 3 представлена блок-схема функции iteracia(), организующая решение системы методом итерации.

     

Рисунок 3 – блок – схема алгоритма функции iteracia() 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     На  рисунке 4 представлена блок-схема функции gauss(), организующая решение системы методом Гаусса. 

Рисунок 4 – блок – схема алгоритма  функции gauss()

    В первой части блок-схемы происходит преобразование системы к треугольному виду. После этого начинается обратный ход метода Гаусса, в котором происходит последовательное  исключение неизвестных, начиная с

(n-1)-ого уравнения и заканчивая первым. 

     На  рисунке 5 представлена блок-схема функции vivod(), организующая вывод решения на экран.

Рисунок 5 – блок – схема алгоритма функции vivod()

Данная  функция организует вывод результатов на экран.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4 Описание входной  и выходной информации 

     Входной информацией для решения СЛАУ является количество переменных.

     Количество  переменных вводится с клавиатуры и может принимать целые значения, кроме 0 и 1. Количество переменных  описывается с помощью переменной t, которая имеет тип integer – целые значения.

     Коэффициенты  а[t][t+1] вводятся с клавиатуры в следующем порядке: вводятся коэффициенты при неизвестных в первом уравнении системы, вводится свободный член первого уравнения, далее ввод повторяется для элементов второго уравнения и т.д.

     Элементы  матрицы А являются коэффициентами при неизвестных в уравнениях системы. Переменные a[t][t+1] имеют тип float – значения с плавающей точкой, и могут принимать любые значения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     5 Разработка и описание программы  

     Программа реализует поиск решений системы уравнений, реализована на языке Си.

     Программа включает в себя главную функцию  main, функцию ввода данных, функцию нахождения решения вывода результатов.

     Описание  разработанных функций:

     void vvod() – функция, предназначена для ввода значений с клавиатуры, функция не возвращает никаких значений.

     void iteracia () – функция, предназначена для решения системы методом итерации.

     void gauss () – функция, предназначена для решения системы методом Гаусса

     void vivod () - функция, предназначена для вывода результатов на экран.

     void main (void) – главная функция, в которой происходит обращение к функциям void vvod(),void iteracia (),void gauss (),void vivod (). Таким образом, основные функции программы, оформлены виде логически законченных структурных единиц, которые можно вызывать в любом месте программы.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     6 Расчет решения задания и анализ полученных результатов 

     Решим систему уравнений методом Гаусса: 

           7.9x₁+5.6x₂+5.7x₃-7.2x₄=6.68,

           5.8x₁-4.8x₂+0.8x₃+3.5x₄=9.95,            

           5.3x₁+4.2x₂-3.2x₃+9.3x₄=8.60,

           3.2x₁-1.4x₂-8.9x₃+3.3x₄=1.00;

     Для этого запускаем программу и нажимаем 1. Потом вводим необходимое число переменных в системе (в нашем случае 4). Вводим элементы матрицы коэффициентов, сначала элементы первой строки, затем второй и т.д.

     7.9 5.6 5.7 -7.2  6.68

     8.5 -4.8 0.8 3.5  9.95

     4.3 4.2 -3.2 9.3  8.60

     3.2  -1.4  -8.9  3.3  1.00

     В результате выполнения программы на экран выводится результат:

     x₁=0.967100,

     x₂=0.124800,

     x₃=0.426300,

     x₄=0.567900.

     Подставим полученные результаты расчета системы методом Гаусса в исходные уравнения системы:

     7.9·0.967100+5.6·0.124800+5.7·0.426300-7.2·0.567900=6.68,

     8.5·0.967100-4.8·0.124800+0.8·0.426300+3.5·0.567900=9.95,

     4.3·0.967100+4.2·0.124800-3.2·0.426300+9.3·0.567900=8.6,

     3.2·0.967100-1.4·0.124800-8.9·0.426300+3.3·0.567900=1.00;

     Отсюда  видно, что система решена верно, т.к. подстановка результатов в исходные уравнения превратила их тождества.

     Решим следующую систему уравнений методом итерации: 

              6x₁-x₂-x₃=11.33,

               -x₁-x₂-6x₃=32,                                  

              -x₁-x₂-6x₃=42;

     Для этого запускаем программу и  нажимаем 2. Потом вводим необходимое число переменных в системе (в нашем случае 3).

     6  -1  -1  11,33

     -1  6  -1 32

     -1  -1  6  42

     В результате выполнения программы на экран выводится результат:

     x₁=4.665224,

     x₂=7.618504,

     x₃=9.047288;

     Подставим полученные результаты расчета системы  методом Гаусса в исходные уравнения системы:

     6·4.665224-7.618504-9.04228=11.33,

     -4.665224+6·7.618504-9.047288=32,

     -4.665224-7.6185504+6·9.04228=42.

     Отсюда  видно, что система решена верно, т.к. подстановка результатов в  исходные уравнения превратила их тождества. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Заключение 

     В процессе выполнения курсовой работы был разработан специализированный программный модуль, реализующий решение системы уравнений методом итерации и методом Гаусса. При разработке программы были разработаны алгоритмы программ, описали основные функции и произвели расчет исходных систем. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  использованных источников

     Список  использованных источников

     1. Гурский В.Е. Руководство к решению задач по высшей математике. – Мн.: Высш. шк, 1998г.

     2. Романовская Л.М. Программирование в среде Си для ПЭВМ ЕС/ Л.М.Романовская, Т.В.Русс, С.Г.Свитковский. - М.: Финансы и статистика,1991.-352 с.

     3. Скляров В.А. Программное и лингвистическое обеспечение персональных ЭВМ. Системы общего назначения: Справ. пособие. – Мн.: Выш. шк., 1992. – 426 с.: ил.

     4. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. – Томск: МП “РАСКО”, 1991. – 227 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Приложение  А

     (обязательное)