Разработка программы, вычисляющей интеграл

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования 

Кубанский государственный технологический  университет 

(КубГТУ) 

      Кафедра ________________________________________

                    ^{(наименование кафедры)} 
 

                    ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

                 к курсовому проекту (работе) 

     по  ____________________________________________________________

                                                     ^{наименование дисциплины)}

     на  тему _______________________________________________________

                    ^{(тема курсового  проекта (работы))}

     Выполнил (а) студент (ка) группы ________________________________         

_____________________________________________________________

            ^(ф.и.о.)

     Допущен  к защите______________________________________________ 

     Руководитель  проекта___________________________________________

     Нормоконтролер _______________________________________________ 

     Защищен  _____________________      Оценка _______________________

                                       ^(дата)

Члены комиссии __________________________________________________ 

                     ^{(подпись, дата, расшифровка  подписи)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Краснодар

2010

 

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования 

Кубанский государственный технологический  университет 

(КубГТУ)

      Кафедра ________________________________________

                    ^{(наименование кафедры)}

                                                          УТВЕРЖДАЮ

                            Зав. кафедрой ___________________

                                    _______________________________ 

        З А Д А Н И Е

         на курсовое проектирование

Студенту:_________________________ группы__________________ курса

                  ^{(Ф.И.О.)      (№ группы и курса)}

факультета ______________________________________________________

специальности  __________________________________________________ 

________________________________________________________________

                              ^{(шифр  и наименование)}

Тема проекта:____________________________________________________ 

Содержание задания:______________________________________________

________________________________________________________________

     Объем  работы:

а) пояснительная  записка к проекту _____________ с.

б) программы.

Рекомендуемая литература:_________________________________________ 

Срок выполнения проекта: с "___" ______по"___"____20__г.

Срок защиты:                                                   "___"____20__г.

Дата выдачи задания:                                      "___"____20__г.

Дата сдачи  проекта на кафедру:                      "___"____20__г.

Руководитель  проекта _________________________________

                                                                          ^{(подпись, ф.и.о., звание, степень)}

Задание принял студент _______________________________                                                                                          

^{(подпись,  дата)}

 

     

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования 

Кубанский государственный технологический  университет 

(КубГТУ) 
 
 

Реферат 
 

      Пояснительная записка курсового проекта (работы) 33 с., 16 рис., 4 источника. 
 

     ОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ, МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, МЕТОД  КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАПЕЦИЙ, МЕТОД СИМПСОНА (ПАРАБОЛ), ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА. 
 

     Объектом  исследования является численное интегрирование с применением языка C# и применение принципов объектно-ориентированного программирования. 

     Цель  работы состоит в разработке программы  на языке C# демонстрирующей интегрирование различными методами и получении результатов. 

     К полученным результатам относятся построенный график функции с отображенными пределами интегрирования, численные значения интеграла, вычисленного разными способами, определенные погрешности вычислений. 
 
 

 

     

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ

Нормативные ссылки

Список используемой литературы 

  
ВВЕДЕНИЕ 

     Цель  курсовой работы является приобретение и углубление знаний в области  высокоуровневых методов информатики и программирования, получения дополнительных практических навыков в использовании основных приёмов обработки экспериментальных данных, численного решения определенных интегралов. 

     Численное интегральное исчисление – часто используемая тема в математике. При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Это приводит к необходимости использования приближенных методов вычисления определенных интегралов.

 

1.   Спецификации задачи

 

     Разрабатываемая программа должна обладать следующими качествами: 

1. Производить интегрирование заданной функции методом  прямоугольников, трапеций, парабол  на основе входных данных и выводить результат;
2. Иметь графический интерфейс, позволяющий вводить исходные данные, а также визуализировать результаты вычислений, выводя на экран график подынтегральной функции, значения вычисленных интегралов и погрешности их вычислений.
3. При написании исходных текстов программы необходимым условием является использование основных принципов объектно-ориентированного программирования, обработки исключительных ситуаций, потоков выполнения, наличие подключаемых библиотек.

 

2. Формулировка  задачи

     Данная  курсовая работа посвящена разработке программы на языке C#, которая вычисляет определенный интеграл от функции, имеющей первообразную, которую можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи применяются методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).

     Задача курсового проекта – разработать программу на языке C#, такую, чтобы при работе с этой программой пользователь имел возможность:

     a) Найти определенный интеграл выше упомянутыми методами от следующей функции:

     

     б) ввести с клавиатуры пределы интегрирования и количество интервалов разбиения (a, b и n);

     в) увидеть результаты вычислений на экране в удобном для восприятия виде с отображением графика функции, на введенном с клавиатуры отрезке.

     При помощи данной программы нетрудно будет  сравнить результаты вычислений одного и того же определенного интеграла найденные разными методами.

     Программа должна отвечать следующим требованиям:

     a) иметь простой интерфейс;

     б) иметь защиту от некорректно введенных  данных.

     Актуальность  реализации программы на компьютере заключается в простом использовании и возможности доработки дизайна и программного кода.

 

3. Описание  методов вычислительной математики, используемых при решении

1. Численное интегрирование

     Определенный  интеграл

     с пределами интегрирования a и b можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной ординатами a и b, осью абсцисс x и графиком подынтегральной функции . Обыкновенный определенный интеграл, у которого известна его первообразная , вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница . Поэтому для вычисления простых определенных интегралов достаточно вычислить значение .

     На  практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень  сложно. Нередко подынтегральная  функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находятся приближенными методами, которые заключаются в интерполяции на отрезке подходящим полиномом, для которого интеграл вычисляется по формулам численного интегрирования. Обычно отрезок разбивается на частей, к каждой из которых применяется соответствующая простая формула. Таким образом, получают составные (или сложные) формулы численного интегрирования. Для данной курсовой работы предусмотрено рассмотреть три способа численного интегрирования с помощью метода прямоугольников, криволинейных трапеций и метода Симпсона (параболических трапеций).

1. Метод прямоугольников

     Промежуток  интегрирования делится точками на n равных частей; длина каждой

      .

     Для единообразия полагаем , . Через обозначаем середины участков Полагаем 

     

     

     Формулой  прямоугольников называются следующие  приближенные равенства:

 

     Выражения (2), (3), (4) дают площади ступенчатых фигур, изображенных на рисунках 1, 2, 3 соответственно. В большинстве случаев при данном n формула (4) точнее, чем (2) и (3). С увеличением n точность формул (2), (3), (4) неограниченно возрастает.

     Предельная  погрешность формулы (4) составляет: ,

     где – наибольшее значение в промежутке . 

     Рисунок 1 – Ступенчатая фигура, полученная по методу левых прямоугольников

     Рисунок 2 – Ступенчатая фигура, полученная по методу правых прямоугольников 

     Рисунок 3 – Ступенчатая фигура, полученная по методу средних прямоугольников 

     Формула (4) наиболее точная, и погрешность по сравнению с формулами (2) и (3) уменьшается в приблизительно 50 раз. Отметим, что для линейной функции формула (4) дает точный ответ, поскольку в этом случае .

2. Математический  вывод формулы метода прямоугольников

     Пусть на отрезке  задана непрерывная функция . Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции.