Повторение испытаний. Локальная и Интегральная теорема Лапласа

Содержание

 

 

1. Введение..................................................................................................................................2

2. Постановка задачи.............................................................................................................4

3.Список литературы...........................................................................................................10

Приложение 1. Структурное проектирование задачи [блок-схема].........11

Приложение 2. Текст программы..................................................................................12

Приложение3. Результат работы программы........................................................15

 

 

 

1. Введение

Возникновение теории вероятностей как науки относится к средним векам и  первым  попыткам  математического  анализа  азартных  игр (орлянка, кости, рулетка). Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности.

Первоначально  её  основные понятия  не  имели  строго  математического  вида, к  ним   можно  было   относиться  как  к некоторым эмпирическим   фактам,  как   к  свойствам   реальных    событий, и   они формулировались  в  наглядных  представлениях.

Классическое    определение    вероятности    основано   на     понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности          выступает отношение количества  исходов,  благоприятствующих  данному событию, к  общему числу равновозможных  исходов. Возможны    различные    градации    «уровней» вероятности.

Самые  ранние  работы учёных в  области  теории  вероятностей  относятся к XVII веку. Весьма частным, но очень важным случаем является схема  Бернулли — независимые испытания, в результате которых некоторое событие либо происходит, либо нет. В реальности схема Бернулли часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала.    

 В  1730 г.  Муавром   была   найдена  формула   для  частного  случая,                       а  в  1783 г.  Лаплас  обобщил формулу   Муавра. Поэтому теорему,  о  которой  здесь   пойдет  речь,  называют   теоремой   Муавра—Лапласа – это  одна   из  предельных   теорем   теории   вероятностей. Применяют     теоремы   Муавра-Лапласа  при решении задач для   упрощения вычислений.

В данной работе была рассмотрена задача на нахождение вероятности всхожести и невсхожести семян.

Целью работы является теоретическое изучение поставленной задачи, разработка алгоритма решения задач этого типа и написание программы, реализующей его.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Постановка задачи

 

Схема Бернулли —производится  -n  однотипных независимых опытов, в каждом из которых  может появиться интересующее  нас  событие    -A,  причем   известна   вероятность   этого   события  P(A) = p.  Требуется определить вероятность того, что  при проведении  -n  испытаний событие   -A  появится  ровно   -k  раз.

Под   схемой   Бернулли   понимают   конечную   серию  -n   повторных независимых  испытаний  с  двумя  исходами: 
1.   A — появление события  -A с вероятностью  -p; 
2.  «не А» —  событие   -А   не  появилось,  что  происходит  с  вероятностью   q = 1 − p.

Важнейшее  условие,   без   которого  схема  Бернулли  теряет  смысл — это постоянство. Сколько  бы  опытов  мы  ни проводили,  нас интересует одно и то же событие -A, которое возникает с одной и той  же  вероятностью -p.    Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что  событие -A  произойдет  ровно  -k  раз   из  -n возможных.  Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Пусть вероятность появления события -A в каждом опыте постоянна и равна -р.  Тогда вероятность того, что в -n  независимых испытаниях событие -A  появится  ровно  -k  раз,  рассчитывается  по  формуле.

Pn(k) = Cnk * p k * q n- k

 

где,                                                                                                                

Cnk — число сочетаний,                                                                                                                 p  - вероятность возникновения событий,                                                                             q = 1 – p – вероятность не возникновения событий.

 

Если видно, что  стандартная  теорема  Бернулли  не  работает  из-за  большого объема  вычислений  (например, никто не будет считать число 58! или 45!), то  применяется  Локальная  теорема  Муавра —  Лапласа.   Локальная теорема  необходима  при  определении  конкретного  количества  появления событий.

Локальная теорема  Муавра – Лапласа

 

Если вероятность  -p  появления  события  -A  в  каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы – 0<p>1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы  Бернулли событие -A при   -n  испытаниях  появится  точно  -k раз,  выражается  приближенной  формулой Лапласа:

где

n – количество испытаний,

p – вероятность успеха,

q = 1 – p – вероятность неуспеха,

– функция Гаусса,

, где  , k - ожидаемое количество успехов.

 

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Интегральная  теорема  Муавра – Лапласа

 

Если вероятность -p  наступления события -A    в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  Pn  (k1 , k2 ) того, что событие   -A    появится в   испытаниях  от  k1 до k2  раз, приближенно равна определенному интегралу.

где,

– интегральная функция Лапласа;

,   - аргументы интегральной функции распределения;

n – количество испытаний;

p– вероятность выполнения события -А,

 

q = 1 – p –  вероятность  невыполнения события –А.

 

Интегральная формула, как и локальная тем точнее, чем больше. При условии интегральная формула дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

Приближенными  формулами Лапласа  на  практике  пользуются  в  случае,  если   npq > 10 или npq = 10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям. Однако, в случае близости одной из величин -p или -q  к  нулю (другая в это время мало отличается от единицы) возникает необходимость в значительном увеличении числа испытаний -n.  Разумеется,  формулировка  «число  испытаний   достаточно  велико» весьма условна, и  в  разных  источниках  называются  разные  цифры.

Решение задач по приведенным теоремам позволяет при большом количестве испытаний  находить приближенное  значение вероятности. Локальная  теорема необходима  при  определении  конкретного  количества  появления  событий,  интегральная  теорема  Муавра-Лапласа  -   в случаях, когда задан диапазон возможного количества появлений события.

 

Рассмотрим задачу:

Всхожесть семян дыни составляет 75%. Найти вероятность того, что из 1200 посаженных семян будет не менее 870 проросших.

 

Решение:

Из условия задачи имеем:

n=1200

p=0.75

870 k 1200

Чтобы найти вероятность воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.

 

,

 

 где  ,   .

 

 

 

По таблице найдём значения функций:

Ф(-2) =-Ф(2) = -0,47725

Ф(20) 0,5

 

Подставляем значения в формулу и находим вероятность проросших семян.

P n  (k2 k k1) = Ф(х1) - Ф(х2)

P1200 (870 k 1200 ) = 0,5 + 0,47725 = 0,97725

 

P = 0,97725 — это вероятность всхожести проросших семян.

 

Приведем  пошаговый  алгоритм:

 

Шаг 1

Вводим вероятность всхожести (p), значение выборки (n), минимальное число наступления события ( ).

 

Шаг 2

Находим      по  формуле   .

 

Шаг 3

Находим      по формуле   .

 

Шаг 4

По  таблице  функции  Лапласа  находим  .

 

Шаг 5

По  таблице  функции  Лапласа  находим  .

 

Шаг 6

Подставляем   полученные   значения   в    формулу .

 

Шаг 7

Получаем   вероятность.

 

По указанному алгоритму в среде VisualBasic написана программа, реализующая описанный метод решения задачи.

Параметры работы программы

1. Входные параметры:

n-значение выборки

p-вероятность наступления события

- минимальное число раз  наступления события

2. Выходные параметры

P- вероятность наступления события не менее раз

 

 

3. Список литературы

1. Гмурман Е.В. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб.  пособие  для студентов вузов.-3-е   изд., перераб. и доп. –М.: Высш. Школа , 1979. 400с., ил.
2. Самоучитель VBA. – СПб.: БХВ – Санкт-Петербург , 1999.-512 с., ил.\
3. Visual Basic 6.0: разработка приложений. -СПб.: БХВ-Петербург, 2001. -448с.: ил. 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1. Структурное проектирование задачи (блок-схема)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2. Текст программы

Код программы:

Private Sub Command1_Click()

n = IsNumeric(Text1.Text)

p = IsNumeric(Text2.Text)

k1 = IsNumeric(Text3.Text)

If (p<=1) And (k1<n) Then

n = CDbl(Text1.Text)

p = CDbl(Text2.Text)

k1 = CDbl(Text3.Text)

x1=(k1-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

x2=(k2-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

If x1>5 Then

F1=0.5

End If

If x2>5 Then

F2=0.5

End If

If x1=-2 Then

F1=0.47725

End If

p1=F1+F2

Text4.Text = p1

Else

If (p>1) ThenMsgBox "Вероятность не может быть больше 1!"

If (k1>n) ThenMsgBox "Минимальное число наступлений события не может быть больше объема выборки!"

End If

End Sub

 

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

 

Private Sub Command3_Click()

Text1.Text = ""

Text2.Text = ""

Text3.Text = ""

Text4.Text = ""

Combo1.Text = "Выберите"

End Sub

 

Private Sub Command4_Click()

EndSub

MsgBox

End Sub