Однофакторный дисперсионный анализ

 

      В общем виде эту задачу можно поставить  следующим образом: пусть мы наблюдаем  m независимых нормально распределенных случайных величин (1) предполагая, что все они имеют одинаковую дисперсию (эту гипотезу можно проверить с помощью F-критерия). Средние значения случайных величин (2) вообще говоря, различны. Пусть в одинаковых экспериментальных условиях над каждой из переменных (1) производится некоторая серия наблюдений (для простоты ограничимся случаем равночисленных наблюдений, хотя это обстоятельство несущественно для теории). Данные k-й серии пусть будут (k=1,2,…..,m) (3).

      Опираясь  на эти статистические данные, мы хотим  проверить гипотезу, согласно которой  средние значения (2) равны, т.е. a₁=a₂=…..=a_m(4)

      Если  проверяемая гипотеза, называемая нулевой  гипотезой, верна. поставив средние в каждой серии, мы не должны получить ш расхождения между ними; если такое расхождение обнаружено то гипотезу (3) приходится отбросить.

      Примером  подобной ситуации может служить  статистическое исследование урожайности  сельскохозяйственной культуры в зависимости  от 1 из m сортов почвы при некотором способе ее обработки. Истинное значение урожайности для каждого из m сортов почвы неизвестно, а экспериментально наблюдаемые урожайности (3) в каждом из n экспериментов на этих сортах почвы содержат ошибки, возникающие из-за тех или иных случайных причин. Будет ли одинаковой урожайность на всех сортах почвы, если предположить, что измерения (3) проводились с ‚одинаковой точностью и в одинаковых условиях? Иначе говоря, мы хотим проверить влияние одного фактора сорта почвы — на урожайность .сельскохозяйственной культуры. В другой постановке та же задача возникает, если мы хотим проверить, насколько влияют и влияют ли вообще на плодородие почвы источники загрязнения. В этом случае сорт почвы может меняться и давать разную урожайность в зависимости от удаленности обрабатываемого участка земли от источника загрязнения.

      Таблица результатов измерений будет иметь следующий вид (табл. 1):

      Результаты  измерений урожайности

      Обозначим через  среднее арифметическое из n наблюдаемых урожайностей на почве первого сорта, через — среднее из урожайностей в почве второго сорта и т. д., так, что

      

, …,

      Систематические ошибки наблюдений урожайностей на разных почвах неодинаковы, то мы должны ожидать  повышенного рассеивания выборочных средних.

      Обозначим через 

общее среднее арифметическое всех n m измерений так, что .(5)

      Суммирование  по k при постоянном i дает сумму по всем наблюдениям i-той серии (т.е. по i-му сорту почвы). Дальнейшее суммирование по i дает итог по всем сортам почвы. Так как

      

, то  .

      В то же время 

      

      

,(6)

      причем 

      

.

      Но  , так как представляет собой сумму отклонений наблюдений i-й серии от средней этой же серии и потому S=0.  (7)

      По  этому приняв во внимание, что

      

,(8)

      мы  можем основное тождество (6) записать в следующем виде

      

, (9) или в сокращенном виде  ,(10)

        где 

, ,

      Таким образом, общая сумма квадратов  ‚ распадается на две составные  части, первая из которых связана  с оценкой дисперсии урожайности  между сортами почвы, а вторая — с оценкой дисперсии внутри всех сор почвы.

      Предположим теперь, что гипотеза (4) верна, и потому нормальные распределения всех величин  (урожайностей) тождественны. имеют одинаковые среднее значение и дисперсию .Тогда же nm наблюдений можно рассматривать как выборку из одной и той же нормальной совокупности .

      Можно показать, что при этой гипотезе статистики , и распределены по закону соответственно с , , степенями свободы, а по тому Q, Q₁, Q₂ могут быть использованы в этом случае для оценки . Эта оценка может быть поведена с помощью несокращенных характеристик

      

, , .

      При более детальном изучение показывает, что Q₁ и Q₂ при нашей гипотезе независимы друг от друга. Заметим, этот вывод справедлив при любых предположениях относительно a_i.

      Из  сказанного вытекает, что критерий

      

(11) в гипотезе (4) будет следовать  F-распределению с и степенями свободы. Выбирая q%-й уровень значимости при известных , , найдем по таблице 20 в приложение соответствующий q% предел так, что P(F>F_q) .

      Пусть с другой стороны наша гипотеза неверна  и средние значения (2) не равны  друг другу, но параметр

во всехm совокупностях один и тот же, когда сумма Q₂, не изменяющаяся при замене на , имеет, как можно доказать. По-прежнему распределение и степенями свободы, .

        По-прежнему является несмещенной  оценкой для . В то же время числитель F в (7,14) учитывает систематические расхождения между средними значениями a_i, и имеет тенденцию расти и становится тем больше, чем больше отклонения от предполагаемого равенства значений a_i. Поэтому правила проверки гипотезы дается в следующем виде: a₁=a₂=…..=a_m принимается, если ; в этом случае и несмещенными оценками параметров a и нормально распределенных случайных величин (1).

      Если ,то нулевая гипотеза отклоняется, и следует считать, что среди значений имеются хотя бы два не равных друг другу.

      Схема однофакторного дисперсионного анализа 

      Сравнивая дисперсию между сортами почвы  с дисперсией «внутри» почвы, по величине их отношения (11) судят, насколько рельефно проявляется влияние такого фактора, как сорт почвы; в этом сравнении  как раз и заключается основная идея дисперсионного анализа. Схему  однофакторного дисперсионного анализа  можно представить в , табл. 2.

      В качестве числового примера рассмотрим данные пятикратного (n=5) измерения урожайности на трех (т =3) сортах почвы. В таблице приведены данные не фактического, а условного эксперимента;

      Результаты  измерения урожайности в относительных  единицах

      Из  таблицы имеем:

      

;

      

;

      

; ; ; .

      Для нашего примера таблица однофакторного анализа будет иметь следующий  вид

      дисперсионный анализ урожайности на различных  сортах почвы

      Произведя теперь проверку нулевой гипотезы (4) с помощью  распределения, находим

      При двух степенях свободы большей дисперсии (k₁ = 2) и 12 е свободы меньшей дисперсии (k₂ = 12) по табл. в приложении II находим критические границы для F, равные при 5%-м уровне pзначимости и 3.88 и 1%-м уровне — 6.93. Полученное нами из наблюдений значение превышает указанные границы, и потому нулевая гипотеза должна быть отвергнута, т.е. урожайность на рассматриваемых сортах почвы неодинакова.