Нахождение кратчайшего пути алгоритмом Дейкстры

         Наряду с проблемами, носящими общий характер, в теории графов имеются специфические циклы задач. В одном из них изучаются различные свойства связности графов, исследуется строение графов по свойствам связности. При анализе надежности сетей связи, электронных схем, коммуникационных сетей возникает задача о нахождении количеств непересекающихся цепей, соединяющих различные вершины графа. Здесь получен ряд результатов. Например, наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины графа, равно наибольшему числу непересекающихся (по вершинам) простых цепей, соединяющих эту пару вершин. Найдены критерии и построены эффективные алгоритмы установления меры связности графа (наименьшего числа вершин или ребер, удаление которых  нарушает связность графа).[7]

         В другом направлении исследований  теории графов изучаются маршруты, содержащие все вершины или ребра графа. Известен простой критерий существования маршрута, содержащего все ребра графа: в связном графе цикл, содержащий все ребра и проходящий по каждому ребру один раз, существует тогда и только тогда, когда все вершины графа имеют четные степени. В случае обхода множества вершин графа имеется только ряд достаточных условий существования цикла, проходящего по всем вершинам графа по одному разу. Характерным специфическим направлением теории графов является цикл задач, связанный с раскрасками графов, в котором изучаются разбиения множества вершин (ребер), обладающие определенными свойствами, например, смежные вершины (ребра) должны принадлежать различным множествам (вершины или ребра из одного множества окрашиваются одним цветом). Было доказано, что наименьшее число цветов, достаточное для раскраски ребер любого графа без петель с максимальной степенью a, равно Зa/2, а для раскраски вершин любого графа без петель и кратных ребер достаточно a+1 цветов.

         Существуют и другие циклы задач, некоторые из них сложились под влиянием различных разделов математики. Так, под влиянием топологии производится изучение вложений графов в различные поверхности. Например, было получено необходимое и достаточное условие вложения графа в плоскость (критерий Понтрягина - Куратовского  см. выше): граф является плоским тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, получаемых с помощью подразбиения ребер из полного 5-вершинного графа и полного двудольного графа с тремя вершинами в каждой доле. Под влиянием алгебры стали изучаться группы автоморфизмов графов. В частности, было доказано, что каждая конечная группа изоморфна группе автоморфизмов некоторого графа. Влияние теории вероятностей сказалось на исследовании графов случайных. Многие свойства были изучены для «почти всех» графов; например, было показано, что почти все графы с n вершинами связаны, имеют диаметр 2, обладают гамильтоновым циклом (циклом, проходящим через все вершины графа по одному разу).[9]

       В теории графов существуют специфические методы решения экстремальных задач. Один из них основан на теореме о максимальном потоке и минимальном разрезе, утверждающей, что максимальный поток, который можно пропустить через сеть из вершины U в вершину V, равен минимальной пропускной способности разрезов, разделяющих вершины U и V. Были построены различные эффективные алгоритмы нахождения максимального потока.[1] 

       Большое значение в теории графов имеют алгоритмические вопросы. Для конечных графов, т. е. для графов с конечным множеством вершин и ребер, как правило, проблема существования алгоритма решения задач, в том числе экстремальных, решается положительно. Решение многих задач, связанных с конечными графами, может быть выполнено с помощью полного перебора всех допустимых вариантов. Однако таким способом удается решить задачу только для графов с небольшим числом вершин и ребер. Поэтому существенное значение для теории графов имеет построение эффективных алгоритмов, находящих точное или приближенное решение. Для некоторых задач такие алгоритмы построены, например, для установления планарности графов, определения изоморфизма деревьев, нахождения максимального потока.

       Результаты  и методы теории графов применяются при решении транспортных задач о перевозках, для нахождения оптимальных решений задачи о назначениях, для выделения «узких мест» при планировании и управлении разработок проектов, при составлении оптимальных маршрутов доставки грузов, а также при моделировании сложных технология, процессов, в построении различных дискретных устройств, в программировании и т. д.[2]

1.2. Основные термины и теоремы теории графов.

1. Граф  - Пара объектов G = ( X , Г )  ,где Х - конечное множество ,а  Г –конечное подмножество  прямого произведения  Х*Х  .  При этом   Х называется множеством вершин , а  Г - множеством дуг графа G .
2. Любое конечное множество точек (вершин), некоторые из которых попарно соединены стрелками , (в теории графов эти стрелки называются дугами), можно рассматривать как граф.
3. Если в множестве Г все пары упорядочены, то такой граф называют ориентированным .

   Дуга- ребро ориентированного графа.

   Граф  называется  вырожденным, если у него нет рёбер.

   Вершина Х называется  инцидентной  ребру G , если ребро соединяет эту вершину с какой-либо другой вершиной.

4. Два ребра G₁ и G₂ называются смежными, если существует вершина, инцидентная одновременно G₁ и G₂.
5. Пустым называется граф без рёбер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.

   Конечная  последовательность необязательно  различных рёбер E1,E2,...En называется маршрутом длины n, если существует последовательность V₁, V₂, ... V_n необязательно различных вершин, таких, что E_i = (V_i-1,V_i ).

   Если  совпадают, то маршрут замкнутый.

6. Маршрут, в котором все рёбра попарно различны, называется цепью.
7. Замкнутый маршрут, все рёбра которого различны, называется циклом. Если все вершины цепи или цикла различны, то такая цепь или цикл называются простыми.
8. Маршрут, в котором все вершины попарно различны, называется простой цепью.
9. Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны, называется простым циклом.
10. Граф называется связным, если для любых двух вершин существует путь, соединяющий эти вершины.
11. Любой максимальный связный подграф (то есть, не содержащийся в других связных подграфах) графа G называется компонентой связности. Несвязный граф имеет, по крайней мере, две компоненты связности.
12. Граф называется k - связным (k - реберно - связным), если удаление не менее k вершин (ребер) приводит к потере свойства связности.
13. Маршрут, содержащий все вершины или ребра графа и обладающий определенными свойствами, называется обходом графа.
14. Длина маршрута (цепи, простой цепи) равна количеству ребер а порядке их прохождения. Длина кратчайшей простой цепи, соединяющей вершины v_i и v_j в графе G, называется расстоянием d (v_i, v_j) между v_i и v_j.
15. Степень вершины - число ребер, которым инцидентна вершина V, обозначается D(V). [6]

       С помощью различных операций можно  строить графы из более простых, переходить от графа к более простому, разбивать графы на более простые и т.д.

       Среди одноместных операций наиболее употребительны: удаление и добавление ребра или вершины, стягивание ребра (отождествление пары смежных вершин), подразбиение ребра (т.е. замена ребра (u, v) на пару (u, w), (w, v), где w - новая вершина) и др.

       Известны  двуместные операции: соединение, сложение, различные виды умножений графов и др. Такие операции используются для анализа и синтеза графов с заданными свойствами. [10] 

Способы задания графов: 

1. Геометрический: 

2. Матрица смежности: 

       Матрица смежности  - квадратная  матрица, размерности, равной количеству вершин. При этом  а[ i, j ]-целое число, равное количеству рёбер, связывающих i-ю, j-ю вершину. Если в графе нет петель, то диагональные элементы равны 0 .

       Если  рёбра не повторяются, то все элементы 0 или 1. Если граф неориентированный, то матрица симметрична.

       3. Матрица инцидентности:

4. Явное  задание графа как алгебраической  системы:

<{a,b,c,d},{u,v,w,x}; {(u,a),(u,b),(v,b),(v,c),(w,c),(w,a),(x,c), (x,d)}>.

     Так как мы рассматриваем только простые  графы, граф нам проще определять как модель, носителем которой является множество вершин, а отношение – бинарное отношение смежности вершин. Тогда данный граф запишется как <{a,b,c,d}; {(a,b), (b,a),(b,c),(c,b),(a,c),(c,a),(c,d),(d,c)}>. В таком представлении ребру соответствуют две пары вершин (v1,v2) и (v2,v1), инцидентных данному ребру. Чтобы задать такое представление, достаточно для каждого ребра указать двухэлементное множество вершин – его мы и будем отождествлять с ребром. Для данного графа рёбра задаются множеством {{a,b},{b,c},{a,c},{c,d}} и граф мы будем записывать как пару (V,E), где V – множество вершин, а E – множество рёбер.[10]

5. Наконец,  граф можно задать посредством списков.