Интерполяция

Интерполяция

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также  близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также  упомянуть и совершенно другую разновидность  математической интерполяции, известную  под названием «интерполяция  операторов». К классическим работам  по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Рассмотрим систему  несовпадающих точек  ( ) из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции  из заданного класса функций, что

• Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
• Пары называют точками данных или базовыми точками.
• Разность между «соседними» значениями  — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
• Функцию  — интерполирующей функцией или интерполянтом.