Фрактальная графика

             Федеральное агентство по образованию

         ГОУ   ВПО  ОмГТУ

         Кафедра ДРиТПП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           Реферат

           по дисциплине компьютерная геометрия и графика

        на тему

           Фрактальная графика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                Проверила:

                                                                                                                 Макарова Т.В.

 

 

 

Омск-2008

Содержание

• Понятия фрактала и фрактальной графики………………………………3
• Основные свойства фрактала……………………………………………...4
• Классификация фракталов………………………………………………...4
• Применение фракталов…………………………………………………….6
• Программы для создания фракталов……………………………………...7
• Приложения…………………………………………………………………8
• Источники………………………………………………………………….10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятия фрактала и фрактальной графики.

 Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы»[2].

 

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантность, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Чтобы представить себе фрактал  понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна[3].

 

Ещё один вариант определения: Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности. Самоподобное множество — множество, представимое в виде объединения одинаковых непересекающихся подмножеств подобных исходному множеству[2].

 

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Создание фрактального рисунка или композиции состоит в генерации изображений путем математических расчетов, т.е.программировании. Базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула, т.е. никаких объектов в памяти компьютера не хранится и изображение строится исключительно по уравнениям. Таким образом строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие природные ландшафты и трехмерные объекты.

Фрактальная графика, как и векторная  — вычисляемая, но отличается от неё  тем, что никакие объекты в  памяти компьютера не хранятся. Изображение  строится по уравнению (или по системе  уравнений), поэтому ничего, кроме

                                                             3

 формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в уравнении,  можно получить совершенно другую  картину. Способность фрактальной  графики моделировать образы живой природы вычислительным путем часто используют для автоматической генерации необычных иллюстраций[4].

Основные свойства фрактала

• Он имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы.
• Он слишком нерегулярен, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке.
• Он имеет некоторую форму самоподобия (по крайней мере приближённую или стохастическую).
• Он имеет дробную «фрактальную» размерность, называемую также размерностью Минковского, которая больше, чем его топологическая размерность (несмотря на то, что это условие не выполняется в случае кривых Пеано).
• Он имеет простое и рекурсивное определение.[2]

 Классификации фракталов

• В основном фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические. Однако существуют и другие классификации:
• Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы    накладывается ограничение на область

                    существования — то есть максимальный и минимальный размер, при

                     которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

• Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).[2]

 

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые  наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или  поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг  алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных  объектов - триадную кривую Кох (рис.1). Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один