Дисперсийный анализ

            I_ij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (15);

            ε_ijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.

       Предполагается, что ε_ijk  имеет нормальный закон распределения N(0; с²), а все математические ожидания F_*, G_*,  I_i*, I_*j равны нулю.

       Групповые средние находятся по формулам:  

       - в ячейке:

       по  строке:

       по  столбцу:

       общая средняя:

       В таблице 1.3 представлен общий вид  вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа. 
 
 
 
 

       Таблица 1.3 – Базовая таблица дисперсионного анализа

       Проверка  нулевых гипотез H_A, H_B, H_AB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений , , (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений ,  , (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.

       Если  n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q₃ из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

       С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q целесообразнее использовать формулы: 
 

       Q₃ = Q – Q₁ – Q₂ – Q₄. 

       Отклонение  от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы [1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      Современные приложения дисперсионного анализа  охватывают широкий круг задач экономики, биологии и техники и трактуются обычно в терминах статистической теории выявления систематических различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех или иных меняющихся условиях.

      Благодаря автоматизации дисперсионного анализа  исследователь может проводить  различные статистические исследования с применение ЭВМ, затрачивая при  этом меньше времени и усилий на расчеты данных. В настоящее время существует множество пакетов прикладных программ, в которых реализован аппарат дисперсионного анализа. Наиболее распространенными являются такие программные продукты как:

      - MS Excel;

      - Statistica;

      - Stadia;

      - SPSS.

      В современных статистических программных продуктах реализованы большинство статистических методов. С развитием алгоритмических языков программирования стало возможным создавать дополнительные блоки по обработке статистических данных.

      Дисперсионный анализ является мощным современным статистическим методом обработки и анализа экспериментальных данных в психологии, биологии, медицине и других науках. Он очень тесно связан с конкретной методологией планирования и проведения экспериментальных исследований.

      Дисперсионный анализ применяется во всех областях научных исследований, где необходимо проанализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. 
 

       Список  используемых источников 
 

1. Кремер  Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.
2. Гмурман В.Е.  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.
3. Гусев А.Н. Дисперсионный анализ в экспериментальной психологии. – М.: Учебно-методический коллектор «Психология», 2000.-136с.
4. http://www.statsoft.ru/home/textbook/modules/stanman.html
5. Шеффе Г. Дисперсионный.анализ М., Наука: 1980, 512 стр.
6. http://www.ucheba.ru/referats/8214.html