Анализ дискретной линейной системы во временной и частотной областях

                       ,     
корни  λ₁ ,λ₂ , …λ_n  (полюса системы) должны быть или отрицательными действительными величинами, или комплексными с отрицательными действительными частями. Таким образом, по расположению полюсов передаточной функции можно судить об устойчивости системы. Отметим, что во временной области необходимым и достаточным условием устойчивости системы при нулевых начальных условиях является абсолютная интегрируемость импульсной переходной характеристики, т.е.

      

При этом ограниченному входному сигналу  будет соответствовать ограниченный выходной сигнал.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основная  часть

 

1. Разностное уравнение системы – зависимость между дискретными сигналами X(n) и Y(n):

 

 

Подставим в полученное уравнение значения коэффициентов:

 

 

2. Импульсная характеристика – реакция системы на входное воздействие в виде дискретной D функции – W(n):

 

   D(n) = D(n) – D(n – 2) – D(n – 3) – 0.2W(n – 1) + 0.4W(n – 2)

 

где D – дискретная дельта-функция

 

_{n = 0….20}

 
 
 

Таблица 2– Вывод значений ИХ

 
 
 

Рисунок 2– График импульсной характеристики

 

3. Переходная характеристика – реакция системы на входное воздействие в виде дискретной функции единичного скачка G(n):

 

G(n) = H(n) – H(n – 2) – (n – 3) – 0.2G(n – 1) + 0.4G(n – 2)

 

где H(n) – дискретная функция Хевисайда

 

 
 

 

Рассчитаем значения G(n) при n=0,1,2…20, построим график:

 
 

 

Таблица 3 –  Вывод значений для ПХ

 
 

Рисунок 3 – График переходной характеристики

 
 
 
 
 
 
 

4. Найти реакцию системы на входной сигнал вида:

 
 

путем решения  разностного уравнения

 

Рассчитаем значения Y(n) при n=0,1…15, построим график:

 

n = 0…20

 
 

Таблица 4 – Вывод значений реакции системы

 
 

 

Рисунок 5 – График реакции системы

 
 

5. Найти системную функцию. Построить графики АЧХ и ФЧХ системы.

 

Преобразуем исходное разностное уравнение в область  комплексной переменной Z, получим:

 

Y(z) = X(z) – X(z)∙z^-2 – X(z)∙z^-3 – 0.2∙Y(z) ∙z^-1 + 0.4∙Y(z) ∙z^-2

 
 

По определению  системная функция – отношение выходного и входного сигналов в области z, равная

 

 
 

6. Для построения АЧХ (амплетудно – частотной) и ФЧХ (фазово – частотную характеристику) перейдем в область круговых частот ω:

 

где j – √-1 – мнимая единица

 
 

 

 

 
 
 
 

Рисунок 6 – АЧХ системы

 

 

Рисунок 7 – ФЧХ системы

 

7. Оценка устойчивости системы (связана с её способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели её из этого состояния).

 

Необходимо вычислить полюса системной функции W(z), т.е. такие значения z, при которых знаменатель системной функции равен нулю. Получим

 

,

Умножим правую и левую часть на z²

 

.

Решаем  квадратное уравнение и находим его корни z₁ и z₂

 

Найдем полюса системной функции, т.е. значения Z из уравнения:

 

z² + 0.2z – 0.4 = 0

 

Решив уравнение, получим:

 

z₁= 0.54

 

z₂= -0.74

 

Так как  z_1,2 < 1, то система является устойчивой.

 

Заключение

 

      В результате проделанной работы  можно сделать выводы о том,  что:

 

1. АЧХ дискретной  линейной системы является периодической  и четной  

    функцией.

 

2. ФЧХ дискретной  линейной системы является периодической  и нечетной  

    функцией.

 

3. Устойчивость системы можно оценить по значениям полюсов этой

     системы,  а именно: если значение хотя  бы одного из полюсов системы  по   

     модулю  больше 1, то система не будет  являться устойчивой.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованных источников

 

1. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций / А.И. Солонина,   

    Д.А.  Улахович, С.М. Арбузов и др. –  СПб.: БХВ-Петербург, 2003.– 608 с.

 

2. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы.– М.: Мир, 1988. – Ч.1. – 336 с.

 

3. Голышев Н.В. Математические модели данных, сигналов и систем: методические указания к курсовой работе / Н.В. Голышев, Д.Н. Голышев. – Новосибирск: Новосиб. гос. акад. вод. трансп., 2007.

 

4. Голышев Д.Н. Презентация Математические модели данных, сигналов и систем, 2009 год.