Решение сфероидических треугольников

Откуда, с той же степенью точности, .находим

(13)

где

Обозначая:

(14)

тогда выражение (13) примет вид: 

(15)

или   

 

где

(16)

По аналогии, без вывода, можно написать формулы и для вычисления стороны d:

(17)

 

Формулы (14)-(17) позволяют решать сферические треугольники со сторонами S<250 км. При этом ошибки вычисления сторон не будут превосходить 0.0005 м.

Если стороны треугольников не превышают 100 км, то, при той же точности вычисления, в формулах (14) - (17)можно отбросить малые поправочные члены и вычисления вести по формулам:

(18)

 

Рабочие формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R=6371116 м

 

 

 

 

 

№ тр.	Вер- шина	Углы сфериче- ского  треуго- льника		Уравненные углы	Синусы углов	Условные сторы (S')	AS
I	D B A	81°29'09,117" 45°48'31,438" 52°42'23,540"	-1,111" -1,111" -1,111"	81°29'08,006" 45°48'30,327" 52°42'22,429"	0,98897857 0,71701311 0,79553937	22879,562 16587,767 18404,435	0,049 0,019 0,025
	Σ ε W	180°00'04,095" 00,762" 03,333"	-3,333"	180°00'0,762"
II	D B С	46°40'25,875" 68°03'27,593" 65°16'06,893"	0,091" 0,091" 0,092"	46°40'25,966" 68°03'27,684" 65°16'06,985"	0,72746003 0,92756057 0,90827908	14740,504 18795,136 18404,435	0,013 0,027 0,025
	Σ ε W	180°00'00,361" 0,635" -0,274"	0,274"	180°00'00,635"

 

 

 

Решение сферических треугольников с применением теоремы Лежандра

 

В 1787 г. А. Лежандр доказал теорему, которая в последующем была положена в основу решения сферических треугольников со сторонами, не превышающими 200 - 220 км. Достоинством такого решения является то, что в этом случае решение сферического треугольника заменяется решением плоского треугольника со сторонами, равными соответствующим сторонам сферического треугольника, но измененными углами. Изменения сферических углов при переходе к углам плоского треугольника вычисляются на основании теоремы Лежандра, которая гласит: если сферический треугольник заменить плоским с теми же сторонами, то углы плоского треугольника будут равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным, на одну треть сферического избытка.

 

Доказательство теоремы Лежандра

 

Пусть дан сферический треугольник ABD (рис. 3) и соответствующий ему плоский треугольник A'B'D' (рис. 4) с теми же сторонами, но отличными углами А', В', D'.

Напишем очевидное соотношение

(19)

 

Рис. 4

Если соответствующие стороны сферического и плоского треугольников равны и не превосходят 200 км, то, вероятно, для сферы радиуса R=Rср=(MN)1/2 углы сферического и плоского треугольников будут отличаться на небольшие величины. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости (если за первый порядок принять А-А'):

(20)

И тогда из (19) с учетом (20), находим

Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями:

 

получаем

( формула Герона )

 

После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем:

 (21)

 

Можно по аналогии написать формулы для разностей (В - В') и (D-D'):

(22)

 

Суммируя левые и правые части выражений (21) и (22), находим для треугольника:

 (23)

 

С учетом равенства (23), формулы (21) и (22) можно представить в следующем виде:

(24)

 

которые и выражают теорему Лежандра.

Если при разложении синусов в ряд удерживались бы члены пятого порядка малости, то в результате были бы получены более точные формулы:

(25)

Где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод:

Сравнивая формулы (24) и (25) приходим к выводу, что сферические треугольники со сторонами S< 250 км можно решать по формулам (24), т.к. поправочные члены

При этом сферический избыток при сторонах 90 км <S< 250 км, следует вычислять по формуле (25), а при сторонах S<90 км -по формуле (23).

Рабочие формулы:

 

№ тр.		Стороны (S)	P-S	Углы (i')		Углы (i)
I	D B A	22879,6106 16587,785 18404,461	6056,318 12348,143 10531,467	81°29'07,750" 45°48'30,074" 52°42'22,176"	0,254 0,254 0,254	81°29'08,004" 45°48'30,328" 52°42'22,430"
	P M ε	28935,928   5217,121   0,762		180°00'00,00"	0,762	180°00'00,762"
II	D B C	14740,517 18795,163 18404,461	11229,553 7174,907 7565,609	46°40'25,756" 68°03'27,472" 65°16'06,772"	0,211 0,212 0,212	46°40'25,967" 68°03'27,684" 65°16'06,984"
	P M ε	25970,07 4844,788   0,635		180°00'00,00"	0,635	180°00'00,635"

 

Список литературы:

 

1. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии. Изд. 2, перераб. И доп. Москва, «Недра», 1979 г. 296 стр.
2. Практикум по высшей геодезии (вычислительные работы) Н.В. Яковлев, Н.А. Беспалов, В.П. Глумов и др.: Учебное пособие для вузов М., «Недра», 1982. 368 стр.
3. Закатов П.С. Курс высшей геодезии, Изд. 4, перераб. И доп. М., «Недра», 1976. 511 стр.