Метод вспомогательных секущих сфер

Уфимский  государственный авиационный технический  университет

Кафедра начертательной геометрии и черчения 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ  СЕКУЩИХ СФЕР

(концентрических  и эксцентрических) 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Выполнил :

      студент гр. ЭСиС-107.

      Проверил:

      Митин М.С. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уфа

2002 
Содержание 
 

1. Введение 3
2. Способ концентрических сфер 3
3. Примеры 3
4. Способ эксцентрических сфер   6
5. Примеры использования способов концентрических  

и эксцентрических  сфер 9

6. Список литературы 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер возможны два случая. В одном из них пользуются сферами, проведенными из одного, общего для всех сфер центра, а в другом - сферами, проведенными из разных центров. В первом случае имеем способ концентрических сфер, во втором - способ эксцентрических сфер.

     Вначале рассмотрим способ концентрических  сфер, для этого предварительно остановимся на пересечении соосных поверхностей вращения (поверхностей вращения с одной осью).

     Нетрудно видеть, что две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям, причем число последних равно числу точек пересечения меридианов поверхностей. 

     

     В самом деле, если одна поверхность образуется вращением меридиана l (l₂), а другая - меридиана m (m₂) около общей оси i (i₂) (рис. 1), то общие точки меридианов А (А₂), В (В₂) и С (С₂) будут описывать окружности, общие для данных поверхностей. При этом, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-нибудь плоскости проекций, то эти окружности будут проецироваться на данную плоскость, в виде отрезков прямых.

     Необходимо  отметить частный случай пересечения  двух соосных поверхностей вращения, когда одна из этих поверхностей является сферой. Если центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 2). Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических сфер.  

     Способ  концентрических сфер.  

     Выясним на примерах условия, при которых можно построить линию пересечения двух поверхностей указанным способом.

     Пример 1. Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i и f пересекаются в некоторой точке 0 и параллельны плоскости проекций П₂ (рис. 3).

     

     Проведем  из точки О пересечения осей данных поверхностей, как из центра, произвольную сферу, пересекающую каждую из данных поверхностей, эта сфера будет соосна с данными поверхностями. Сфера пересечется с каждый из данных поверхностей по окружностям. Эти окружности изобразятся на плоскости проекций П₂ отрезками прямых, что следует из параллельности осей данных поверхностей плоскости П₂. В пересечении отрезков прямых, изображающих трудности, мы получим проекции точек, принадлежащих обеим данным поверхностям, а значит, и искомой линии пересечения.

     Вначале должны быть построены некоторые  опорные точки. Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций II₂, то их контурные образующие, по отношению к плоскости П₂, пересекаются. Точки А, В, С и D пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

     Далее следует определить радиусы максимальной и минимальной сфер, пригодных  для отыскания точек Линии  пересечения.

     Радиус  максимальной сферы R_max равен pасстоянию от проекции 0₂ центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае до т очки А₂.

     Чтобы определить радиус наименьшей сферы  R_min необходимо провести через точку 0 нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет R_min. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй - пересекаться. Если же взять в качестве R_min меньший отрезок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется. В данном примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверхности по окружности 1 - 2; коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3 - 4 и 5 - б. Точки Е, F и G, Н пересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения.

     Для построения других точек линии пересечения  проводят несколько концентрических сфер с центром в точке О, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R_min <R< R_max .

     На  рис. 3 проведена одна дополнительная сфера радиуса R. Она пересекает цилиндрическую поверхность по окружностям 7 - 8 и 9 - 10, а коническую поверхность - по окружностям 11 - 12 и 13 - 14. В пересечении этих окружностей получаем точки К, L, М, N и Р, Q, принадлежащие линии пересечения.

     Чтобы построить горизонтальные проекции точек линии пересечения следует воспользоваться окружностями той или другой из данных поверхностей, содержащими искомые точки. В данном примере удобнее использовать окружности конической поверхности, так как они не искажаются на плоскости проекций II₁.

     Если  оси данных поверхностей вращения пересекаются, но не параллельны какой-либо плоскости  проекций, то можно при помощи замены плоскостей проекций привести их в положение, параллельное новой плоскости проекций.

     

     Пример 2. Построить линию пересечения сферы с произвольной поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с центром сферы С (рис. 4). Так как из любой точки пространства, за исключением центра сферы С, можно описать концентрические сферы, пересекающие данную сферу по окружностям, и из любой точки оси i можно описать концентрические сферы, пересекающие данную поверхность вращения по окружностям, то геометрическим местом точек пространства, из которых возможно описать концентрические сферы, пересекающие по окружностям и данную поверхность вращения и данную сферу, будет ось i.

     Таким образом, если из любой точки О (0₂) оси i поверхности вращения описать концентрические сферы, то они пересекут данные поверхности по окружностям. Так, на рис. 4 вспомогательная сфера радиуса R пересекает поверхность вращения по окружности 1 - 2, а данную сферу - по окружности 3 - 4 (эти окружности изображаются на плоскости проекций П₂ отрезками прямых). Точки М и N пересечения указанных окружностей и будут точками искомой линии пересечения. Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения можно воспользоваться окружностями поверхности вращения, которые не искажаются на плоскости проекций II₁.

     Рассмотренные примеры показывают, что способ концентрических  сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, у которых имеется общая плоскость симметрии и каждая из которых содержат семейство окружностей, по которым ее могут пересекать концентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

     В частности, способ концентрических  сфер следует применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются.

     

     

     Способ  эксцентрических  сфер. 

     Указанный способ построения линии пересечения  двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры.

     Для выяснения условий, при которых можно применять этот способ, рассмотрим пример, показанный на рис. 5. Как было выяснено, в этом примере центры вспомогательных сфер можно брать в любой точке оси поверхности вращения. Поэтому построение линии пересечения в этом случае можно выполнить не только способом концентрических сфер, но и способом эксцентрических сфер.

     На  рис. 5 показано построение точек линии пересечения данных поверхностей способом эксцентрических сфер. Здесь проведены четыре сферы радиусов R¹, R², R³ и R⁴ из различных 4 центров 0¹, O², 0³ и 0⁴, расположенных на всей поверхности вращения. Каждая из этих сфер пересекается с данными поверхностями о окружностям, точки пересечения которых и будут точками линии пересечения поверхностей. Рассмотрим еще один пример.

     Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с конической поверхностью ращения, имеющих общую фронтальную плоскость симметрии (рис. 6).

     Отмечаем  точки видимости А и В в пересечении контура поверхности тора с контуром конической поверхности. Для построения случайных точек здесь нельзя воспользоваться способом концентрических сфер, так как, хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, но их оси i¹ и i² не пересекаются. Способом же эксцентрических сфер, центры которых находятся в различных точках оси i² конической поверхности, можно найти сколько угодно случайных точек линии пересечения.

     Действительно, у поверхности тора, кроме семейства  окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси i¹, имеется семейство окружностей (меридианов), расположенных в плоскостях, проходящих через ось i¹. Центры сфер, пересекающих поверхность тора по этим окружностям, будут находиться на перпендикулярах к плоскостям этих окружностей, проведенных через их центры С¹, С², С³, ... Поэтому если взять центры эксцентрических сфер в точках О¹, О², О³, ... пересечения этих перпендикуляров с осью.i². конической поверхности, то сферы соответствующих радиусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пересечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих одной и той же сфере, и будут точками искомой линии пересечения.

     На  рис. 6 проведены три эксцентрические  сферы из центров О¹, О² и О³, с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек М и N проведен меридиан 3 - 4 поверхности тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходящей через ось i¹(i₂¹), и из его центра С¹ (C₂¹) восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке O¹ (O₂¹) пересечения перпендикуляра с осью i²(i₂²) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке O¹ (O₂¹)  такого радиуса R, чтобы ей принадлежала окружность 3 - 4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1 - 2, определит в пересечении окружностей 1 - 2 и 3 - 4 искомые точки М и N Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, горизонтальные проекции М₁ и N₁ точек М и N построены при помощи параллелей f₁ и f₂ поверхности тора. Точки видимости Р и Q конической поверхности для плоскости П₁ построены приближенно, их фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии пересечения и оси i² конуса.

     Рассмотренные примеры показывают, что способ эксцентрических  сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрия; каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

     Рассмотрим  еще несколько примеров.

     При пересечении двух соосных поверхностей друг с другом по окружности, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-либо плоскости проекций, эти окружности проецируются на эту плоскость проекций в виде отрезков прямых. Это положение остается в силе и в том случае, когда одна из соосных поверхностей - сфера, центр которой находится на оси другой поверхности вращения.

     

     Применим  это свойство к построению проекций линии пересечения двух поверхностей вращения. На рис. 7 изображены два пересекающихся цилиндра. Точки A(a') и B(b'), принадлежащие линии пересечения, находятся без дополнительных построений - в пересечении очерковых образующих.