Поверхности

Общие сведения

    Кривые  поверхности отличаются большим  разнообразием форм – от самых  простых до сложнейших, причудливых. Поверхности, полученные на основе геометрического  способа образования, отличаются целостностью и структурной четкостью, а также  возможностью математического описания и точного отображения на чертеже.

    Кривые  поверхности открывают широкие  возможности для оригинальных и  выразительных архитектурных решений. Чтобы выбрать при проектировании ту или иную поверхность, архитектор должен не только представить ее геометрическую форму на чертеже, но и выявить с помощью специальных графических построений и перспективных изображений светотеневые свойства поверхности, а также форму ее граничного и видимого контура для наиболее характерных точек зрения.

Образование и задание поверхности

    В начертательной геометрии  поверхность рассматривается  как непрерывное  множество последовательных положений линии, перемещающейся в  пространстве по определенному  закону (рис. 85). Такой способ образования поверхностей называют кинематическим.

    Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m, называемой направляющей. Поскольку образующая и направляющая могут иметь самую различную форму, то и поверхностей может быть образовано бесчисленное множество. Вместе с тем форма и закон перемещения образующей единственным образом определяют вид кривой поверхности.

Классификация поверхностей

    Из  большого числа возможных способов образования поверхностей рассмотри основные способы, выделив главные признаки их классификации.

1. По закону движения образующей – поверхности с поступательным движением образующей, с вращательным и винтовым движением образующей.
2. По виду образующей различают поверхности с прямолинейной образующей – линейчатые и поверхности с криволинейной образующей – нелинейчатые.
3. По закону изменения формы образующей – с образующей постоянного или переменного вида.
4. По признаку развертывания поверхности на плоскость – развертываемые и неразвертываемые.
5. По способу задания поверхности – аналитическому или графическому.
6. По дифференциальным свойствам – гладкие или негладкие поверхности и по признаку кривизны поверхности.

    Необходимо  отметить, что одни и те же поверхности  могут быть классифицированы по различным признакам. Поэтому в качестве основного признака выделим вид образующей и характер ее перемещения, т.е. кинематический признак образования поверхностей.

    Закон перемещения удобно задавать неподвижными линиями – направляющими, которые должны пересекать движущаяся образующая. Образующие и направляющие, принадлежащие двум семействам линий, образуют т.н. сетчатый каркас кинематической поверхности. Ниже дана одна из возможных классификационных схем 
 
 
 
 
 
 

Классификационная схема

 

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности— Л. поверхностями называются поверхности, образуемые движением прямой линии. Напр., поверхность прямого круглого цилиндра есть Л., так как она может  быть образована движением прямой, которая, оставаясь параллельной одному и тому же направлению, опирается на окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной к этому направлению; ряд последовательных положений такой прямой и представляет собой поверхность круглого прямого цилиндра. Движущаяся прямая называется образующей, а окружность, на которую она опирается, направляющей. Название образующей присваивается также каждому отдельному положению прямой, движением которой образуется поверхность. Л. поверхности разделяются на два больших класса: развертывающиеся и косые. К первому классу принадлежат такие поверхности, которые могут быть свернуты из плоскости, а, следовательно, могут быть и развернуты на плоскость; таковы поверхности цилиндрические, образующие которых параллельны одному и тому же направлению; поверхности конические, образующие которых проходят через одну общую точку, называемую вершиной; развертывающаяся винтовая поверхность, образующие которой касательны к винтовой линии, и целый ряд других поверхностей, отличающихся тем свойством, что образующие их касательны к некоторой кривой, называемой ребром возврата. Косые поверхности суть такие Л., которые не могут быть развернуты в плоскость; таковы: косая винтовая поверхность, образующие которой перпендикулярны к оси цилиндра и опираются на винтовую линию, начерченную на этом цилиндре; гиперболоид, образующие которого опираются на три данные прямые; гиперболический параболоид, образующие которого опираются на две данные прямые и параллельны данной плоскости, и так далее. Поверхности, образующие которых параллельны одной и той же плоскости, называются коноидами. Работы Плюккера и Болля выяснили весьма важное механическое значение одной из коноидальных поверхностей, названной цилиндроидом и играющей такую же роль в сложении винтовых движений и винтовых усилий, какую играет параллелограмм в сложении сил и скоростей.

Один из простейших примеров см рис.10.

Циклические

    Циклическая поверхность образуется окружностью переменного радиуса, центр которой перемещается по какой-либо кривой. Отметим тот случай образования циклической поверхности, когда плоскость образующей окружности остается перпендикулярной к заданной направляющей кривой, по которой движется центр окружности. Для такой поверхности встречается название каналовая. Каналовую поверхность можно представить также как огибающую семейство сфер переменного диаметра, центры которых находятся на некоторой направляющей кривой. Радиус образующей окружности или образующей сферы может быть постоянным. Поверхность, возникающая при движении такой окружности по некоторой направляющей кривой или при огибании всех последовательных положений образующей сферы при таком же движении ее центра, называется трубчатой. Примером применения в технике могут служить компенсаторы в трубопроводах.

    Направляющей  кривой линией для трубчатой поверхности может быть цилиндрическая винтовая линия; в этом случае мы имеем трубчатую винтовую поверхность. Трубчатой винтовой поверхностью является поверхность цилиндрической пружины с круглым сечением витков.

    Циклические поверхности разного вида имеют, например, применение в газопроводах, в гидротурбинах, в центробежных насосах. Каналовая поверхность в случае, если направляющей линией взять прямую, а не кривую, превращается в поверхность вращения, в частности в коническую, а трубчатая поверхность при прямой направляющей превращается в поверхность цилиндра вращения.

    Простейший  пример см. рис.11.

Поверхности вращения

    В числе кривых поверхностей — линейчатых и нелинейчатых — имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую от вращения какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой — оси поверхности.

Винтовые  поверхности

    Винтовая  поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). Поверхность можно  задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой.

    Пример  см. рис. 12. 

      В технике часто встречаются  винтовые поверхности, образованные  при винтовом движении прямой. Такие поверхности называются  геликоидами. В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми, если угол равен 90°, и наклонными (косыми), если угол – произвольный, отличный от 0 и 90°.

    Следует отметить одно важное свойство винтовых поверхностей, состоящее в том, что  они могут сдвигаться, т.е. совершая винтовое перемещение поверхность скользит вдоль самой себя. Это свойство обеспечивает винтовым поверхностям широкое применение: винты, шнеки, сверла, пружины, поверхности лопаток турбин и вентиляторов, рабочие органы судовых движителей, конструкции винтовых линий и др. Винтовые поверхности, и в частности прямой и наклонный геликоиды, широко применяются в технике. Этими поверхностями ограничены червяки (в червячных передачах) винты, болты и т.п.

    Пример  см. рис. 12.

Многогранные поверхности

    Многогранной  поверхностью называется поверхность, образованная частями пересекающихся плоскостей. Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами. Совокупность ребер и вершин многогранной поверхности называется сеткой.

    Многогранная  поверхность называется выпуклой, если она расположена по одну сторону от плоскости любой ее грани. Сечение выпуклого многогранника плоскостью – всегда выпуклый многоугольник.

    Наиболее  распространенные многогранники –  призмы и пирамиды. Призму, ребра  которой перпендикулярны основанию  называют прямой. Если в основании прямой призмы – прямоугольник, призму называют параллелепипедом. Кроме хорошо известных пирамид и призм представляют интерес также призматоиды, правильные и полуправильные многогранники.

    Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания – многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются вершинами основания призматоида.

Правильные  многогранники

    Среди большого числа разновидностей многогранников особую группу составляют правильные выпуклые многогранники.

    Правильными многогранниками или «телами Платона» называются многогранники, у которых все грани – правильные и равные многоугольники, а углы при вершинах равны. Правильные многогранники и некоторые их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном.

    Существует  пять правильных многогранников:

1. Четырехгранник (тетраэдр) ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками. Тетраэдр – это правильная трехгранная пирамида.
2. Шестигранник (гексаэдр), или куб. Его поверхность состоит из шести равных квадратов
3. Восьмигранник (октаэдр). Его поверхность состоит из восьми равносторонних и равных треугольников.
4. Двенадцатигранник (додекаэдр) ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками.
5. Двадцатигранник (икосаэдр). Его поверхность состоит из двадцати равносторонних и равных треугольников, соединенных по пяти около каждой вершины.

    Свойства многогранников изучал Эйлер, ему принадлежит теорема, устанавливающая зависимость между числом граней, вершин и ребер выпуклых многогранников всех видов.

    Кроме правильных выпуклых многогранников существует довольно большое число полуправильных многогранников.

    Для построения проекций многогранников достаточно построить проекции его сетки  – вершин и ребер. 

Список  литературы

1. Короев  Ю. И. Начертательная геометрия. – М.: Архитектура-С, 2006. – 416 с.

2. Гордон  В. О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Высшая школа, 2000. – 272 с.

3. Чекмарев  А. А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 1988. – 325 с.

4. http://kig.pstu.ac.ru/Graphbook/book/lekcii/L-008.htm

5. http://www.viktoriastar.ru/proektirovanie-mnogougolnikov.html

 
 
 

Линии 

Кривые  линии 

Поверхности 

Поверхности вращения 

Многогранники 

Рис.1        Рис.2         Рис.3          Рис.4         Рис.5         Рис.6          Рис.7          Рис.8          Рис.9          Рис.10   

      

Рис.11       Рис.12 

Рис.13      Рис.14