Цилиндрические и канонические винтовые линии

Реферат

На тему: Цилиндрические и канонические винтовые линии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскость перпендикулярна его оси.

Допустим, что и сама окружность движется равномерно вверх или вниз по поверхности цилиндра. При этом плоскость Р, которая содержит окружность, будет оставаться всё время параллельной самой себе. Пять различных положений плоскости, которая содержит движущуюся точку, показаны на рисунке 113 б.

Вследствие этих двух равномерных движений данная точка М пройдет некоторую пространственную кривуюМ1М2М3М4М5. На рисунке 113в показана эта линия, которая располагается на поверхности цилиндра и носит название цилиндрической винтовой линии. Она не может быть совмещена с плоскостью. На рисунке 113 г показано наглядное представление о винтовой линии, которое дает пружина.

Особое внимание следует уделить рассмотрению способности линии перемещаться по самой себе. Прямая линия и окружность обладают способностью перемещаться по самим себе, вследствие чего цилиндрическая винтовая линия также может перемещаться по самой себе. Например, завинчивая металлический винт в специально приготовленное для него отверстие, мы наблюдаем скольжение одной винтовой поверхности по другой.

Шаг винтовой линии. Точка, сделав полный оборот вокруг цилиндра, будет подниматься вверх или опускаться вниз на некоторое расстояние, которое будет одним и тем же для каждого полного оборота точки (рис. 114). Шагом винтовой линии называется подъем точки за один оборот. Витком называется часть винтовой линии, которая описывается точкой за один оборот.

Правая и левая винтовые линии. На рисунке 114 будем рассматривать цилиндр со стороны основания в то время, когда точка, перемещаясь по винтовой линии, будет удаляться от наблюдателя. Вероятны два случая: движение по часовой стрелке или против неё. Если движение проходит по часовой стрелке, то будет иметь место правая винтовая линия (рис. 114а), а если против часовой стрелки – левая (рис. 114б). На рисунке 114(а-б) в первом случае видимая часть линии будет подниматься слева направо, а во втором – справа налево.

Проекции винтовой линии. Одна проекция прямого кругового цилиндра, на котором расположена винтовая линия, является окружностью, а другая – прямоугольником (рис. 114). Нужно построить фронтальную проекцию правой винтовой линии.

Допустим, движение точки начинается на основании цилиндра в точке 1 (рис. 114). Будем делить шаг винтовой линии и окружность основания на одинаковое число равных частей. На рисунке 114 этих частей 12. За полный оборот точка будет подниматься на величину шага. Следовательно, за 1/12 часть оборота она поднимется на 1/12 часть шага (точка 2).

 
 

Затем следует провести через точки деления шага 1́, 2,…, 12 горизонтальные прямые, а через точки деления окружности 1, 2,…, 12 – вертикальные. Точки фронтальной проекции винтовой линии 1́, 2́,…, 12́ будут иметь место в пересечении горизонтальных и вертикальных прямых, которые проходят через деления шага и окружности и имеют одинаковые номера. Эти точки 1́, 2́,…, 12́ следует соединить плавной линией, которая будет представлять собой фронтальную проекцию винтовой линии. Этой линией будет синусоида.

При сравнении фронтальных проекций правой и левой винтовых линий убеждаемся в том, что форма кривой одна и та же, лишь видимая часть правой винтовой линии стала невидимой у левой, и наоборот. Кроме того, изменился порядок нумерации точек деления окружности на горизонтальной проекции. Для правой винтовой линии номера точек будут возрастать по часовой стрелке, а для левой будут убывать против часовой стрелки.

Развертка поверхности цилиндра с нанесённой на ней винтовой линией. Если развернуть на плоскость боковую поверхность цилиндра с нанесенной на ней винтовой линией, то винтовая линия предстанет в виде прямой линии (рис. 115), поскольку величина подъема точки пропорциональна ее перемещению вдоль окружности.

 

 

В соответствии с этим несложно изготовить модель винтовой линии, нужно только взять прямоугольник с проведенной в нем диагональю и свернуть его в виде цилиндра. При этом диагональ прямоугольника будет образовывать один виток винтовой линии.

 

 

 
Цилиндрическая винтовая линия 
К боковой поверхности прямого кругового цилиндра (стержня) подведен конец резца, принимаем его за точку А (фиг.363,а).

Придадим одновременно резцу равномерно поступательное движение, параллельное оси цилиндра, а цилиндру - равномерно вращательное, вокруг его оси, в результате конец резца, т. е. точки А, оставит на поверхности цилиндра пространственную кривую линию (риску), называемую цилиндрической винтовой линией. 
После одного оборота цилиндра точка А - конец резца - переместится в точку А1 и образует часть винтовой линии, называемую витком. РасстояниеАА1 = А1А2, измеряемое по образующей цилиндра, равняется шагу винтовой линии. Цилиндрическая винтовая линия, являясь пространственной кривой, может быть изображена на плоскости только своими проекциями (фиг.363,б). 
Так как фронтальной проекцией цилиндрической винтовой линии является синусоида, то построение фронтальной проекции винтовой линии можно выполнить, как построение синусоиды, предварительно разделив окружность - профильную проекцию основания цилиндра - и отрезок A122A02, равный шагу, отложенный на фронтальной проекции оси цилиндра, на одинаковое число равных частей, например на 12 (построение синусоиды см. на фиг.169).

 
Профильной проекцией цилиндрической винтовой линии является окружность, сливающаяся с профильной проекцией кругового цилиндра, так как все образующие цилиндра перпендикулярны плоскости П3. 
Для построения проекций винтовой линии достаточно иметь размер диаметра цилиндра и величину шага. 
Развертка винтовой линии осуществляется вместе с разверткой боковой поверхности цилиндра, на которой она нанесена и выявится прямой линией. 
Развернем боковую поверхность цилиндра в плоскость, получим прямоугольник. Сторону, равную ПD, делим на 12 равных частей и через точки деления проводим образующие, а затем с фронтальной проекции переносим точки A02, A12,A22...,A122 на соответствующие образующие. Проведенная через полученные точки прямая А0 А12 будет разверткой одного витка винтовой линии. 
Заметим, что прямая А0А12, являющаяся гипотенузой прямоугольного треугольника, наклонена под одним углом ко всем образующим цилиндра. Угол α называется углом подъема винтовой линии. 
Построенная винтовая линия на (фиг.364), а является правой, так как на фронтальной проекции точка А, образующая винтовую линию, перемещается снизу слева вверх направо. В противном случае винтовая линия будет левой (фиг.364,б).

 

Хочешь получить Новогодние подарки? Участвуй в конкурсе от Cartoon Network! Выиграй приз. www.cartoonnetwork.ru

 
Коническая винтовая линия 
К боковой поверхности прямого кругового конуса подведен конец резца, примем его за точку А0 (фиг.365,a). Придадим одновременно резцу равномерно - поступательное движение, а конусу равномерно - вращательное вокруг его оси; в результате конец резца, т.е. точка А0, оставит на поверхности конуса пространственную кривую линию - риску называемую конической винтовой линией. Аналогично цилиндрической коническая винтовая линия может быть как правого, так и левого направления. 
На (фиг.365,б) показано построение проекций конической винтовой линии: окружность - горизонтальную проекцию основания конуса - и шаг h делим на одинаковое число равных частей, например на 12. Наносим на проекции конуса 12 образующих и, пользуясь делениями шага, находим на фронтальных проекциях соответствующих образующих точки A2, А12, А22, . . ,A122; соединив найденные точки плавной кривой, получим фронтальную проекцию конической винтовой линии - «затухающую» кривую с уменьшающейся высотой волны. 
Горизонтальной проекцией является спираль Архимеда, ее построение видно из чертежа.