Задачи по дисциплине «Информационные технологии управления»

      S_A= (0,79; 0; 0,21)

      6. Находим оптимальную стратегию B, используя формулу:

      q_i^opt = y_j^opt* _opt;  0,06*5,26 = 0,32; 0,13*5,26 = 0,68; 0.

      S_B = (0,32; 0,68; 0).

      Таким образом, оптимальный выигрыш игрока А - S_A= (0,79; 0; 0,21), при этом цена игры составляет _opt = 1/0,19 = 5,26; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задание № 2 

     Предприятие выпускает изделия двух видов. На одно изделие первого вида расходуется  m₁ единиц сырья А и m₂ единиц сырья В, а на одно изделие второго вида – n₁ единиц сырья А и n₂ единиц сырья В. От реализации одного изделия первого вида предприятие получает прибыль Р₁ рублей, а от реализации изделия второго вида Р₂ рублей. Сколько изделий каждого вида должно выпустить предприятие, чтобы получить наибольшую сумму прибыли, если оно располагает запасами в M₁ единиц сырья первого вида и М₂ единиц сырья второго вида.

Вариант 3

m₁ = 3; m₂ = 1; n₁ = 1; n₂ = 2; Р₁ = 1,3; Р₂ = 1,0; M₁ = 390; М₂ = 270

Решение

         Решается ЗЛП табличным симплекс-методом.

     Исходные  данные можно отобразить в таблице:

 

     Целевая функция

     1,3х₁+1х₂ →max   

     Система ограничений:

       3x₁ + 1x₂ ≤  390          

       1x₁ + 2 x₂  ≤ 270    

           1. Заполняется исходная симплекс-таблица:                   

                                                ↑                

     Исходным  базисом является система линейно-независимых  векторов (Р₃, Р₄), а исходным опорным планом, соответственно – Х(0, 0, х₃, х₄) = (0, 0, 390, 270).

     В столбце С – коэффициенты целевой  функции при базисных переменных, т.е. С₃ =0, С₄ = 0. В столбце В(х_i) записывается исходный опорный план х₃ = 390,   х₄ = 270. В столбцы векторов Р_j записывается матрица А. В верхней строке над матрицей А записываются соответствующие коэффициенты целевой функции.

     Т.к. ЗЛП на максимум, то целевую функцию  надо предварительно умножить на -1.

     В строку –f симплекс-таблицы в столбец В записывается

     Z_o=∑С_ix_i, т.е. находится сумма попарно перемноженных элементов столбцов С_i и В.

     В столбцы векторов Р_i (–f)-ой строки записываем разности

     ∆_i=Z_j – C_j, где

     Z_j = ∑С_ia_ij (j = 1,2,…n).

     C_j берутся из верхней строки j-го столбца.

     Для базисных переменных разности

     ∆_i=Z_j – C_j =0.

     2. Анализируются разности Z_j – C_j.

     Если  все разности Z_j – C_j≤0, то получено оптимальное решение, если нет, то продолжаем табличный метод.

     3. Выбирается вектор, который нужно  ввести в базис. Определяется  k=j, для которого положительная разность Z_j – C_j максимальна.

     У нас максимальная положительная  разность ∆_i=Z_j – C_j равна 0,57 и находится в столбце Р₂ (k=2), т.е. вектор Р₂ следует ввести в базис.

     Мы  выделили стрелкой направляющий столбец.

     4. Выбирается вектор, который нужно  исключить из базиса.

Вектор  соответствует min{x_i/a_ij} для всех a_ij>0.

     Θ_i=min{130/0,33; 140/1,67}=140/9=84. Значит из базиса нужно вывести вектор Р₄.

     Мы  выделили стрелкой направляющую строку.

     5. Элемент, стоящий на пересечении  направляющего столбца и направляющей  строки, называется направляющим  элементом a_lk, где

     k – номер вводимого в базис вектора, а l – номер выводимого из базиса вектора.

     Проводится  пересчет симплекс-таблицы.

     Определяется  новый B(xi)^н=B(xi)^с - θmin∙alk;

       Перерасчет заменяемой строки. Каждый  элемент старой строки делится  на направляющий элемент.

       Перерасчет остальных строк. От каждого элемента старой строки отнимается тот элемент, который стоит в этой строке в направлении направляющего столбца умноженный на соответствующий элемент полученной строки.

     Новая строка во второй симплекс таблице: направляющая строка делится на направляющий элемент.

     Пересчет  i-ой строки: новая направляющая строка умножается на элемент, стоящий в направляющем столбце в i-ой строке и вычесть из старой i-ой строки.

                                                                     ↑

Получен новый  опорный план (130, 0, 0, 140), который уменьшает целевую функцию до -169. Этот план не является оптимальным, т.к. в строке    -f  есть положительная разность. Это значит, что вектор Р₂ следует ввести в базис. Вектор Р₄ следует вывести из базиса.                                                                                                                 

     Проводится  пересчет симплекс-таблицы.

 

На этом этапе получен оптимальный план Х_опт (102; 84; 0; 0) и оптимальное значение целевой функции F_опт = 216,6.

      В последней таблице В слолбце  В(х_i) – оптимальное решение исходной задачи, в строке f – оптимальное решение двойственной задачи. 

     Значение  целевой функции F_опт = 1,3*102+ 1*84 = 216,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература 

                   1.  Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.  Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Кремера Н.Ш. - М.: ЮНИТИ, 2000.  

                   2.   Исследование операций в экономике Учебное пособие для вузов./ Под ред. Н.Ш. Кремера - М.: ЮНИТИ, 2000.   

                   3.   Косоруков О.А. Исследование операций М. Экзамен.2003. 

4.  Кросс М.С., Математика в экономике. Математические модели и методы, М: Финансы и статистика, 2007.  

5.  Малыхин В.И. Математика в экономике, М: Инфра-М, 2002.