Задача по "Менеджменту"

Задача №1

Дано: На предприятии выпускающем неоднородную продукцию четырех видов, при производстве изделий используются ресурсы: трудовые, материальные, мощности. Затраты ресурсов на обработку каждого изделия указаны в таблице №1. В ней же указаны потенциальные возможности предприятия по каждому из видов ресурсов, а также доход от реализации единицы изделия каждого вида.

Требуется составить: производственный план предприятия, который включает показатели по номенклатуре (по видам изделий) и по объему, т.е. сколько изделий соответствующего вида изделия следует изготовить предприятию, чтобы доход и прибыль при их реализации были максимальными. Составить математическую модель задачи и решить ее.

Решение: В качестве неизвестного примем x₁ - количество единиц изделий первого вида, изготовленного на предприятии, аналогично x₂, x₃, x₄ - количество единиц второго, третьего и четвертого вида. Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить 1х₁+1х₂+1х₃+1х₄ - человеко/недель трудовых ресурсов. Так как общий фонд рабочего времени не может превышать 15 человеко/недель, то должно выполняться неравенство:

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄ 15

Аналогичные рассуждения относительно возможного использования материальных

ресурсов  и мощностей приведут к следующим  неравенствам:

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄ 120

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄ 100

1х₁+1х₂+1х₃+1х₄ 15

7х₁+5x₂+3x₃+2x₄ 120

3х₁+5х₂+10х₃+15х₄ 100

При этом, так как количество изготовляемых  изделий не может быть отрицательным, то

x₁ 0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0.

Если  будет изготовлено x₁… ...x₄ единиц изделий соответствующего вида, то доход от их реализации может быть представлен в виде следующей функции

Fl(x)=4x₁+5x₂+9x₃+11x₄ max

x={x₁,x₂,x₃,x₄}

x={xj, j=1-4}

Цель  производителя получить доход от продажи изделий, как можно выше. Эта

целенаправленность  может быть выражена в виде задачи линейного программирования: 

F1(х)=mах(4х₁+5х₂+9х₃+11x₄), 

При ограничениях 

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄ 15,

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄ 120,

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄ 100,

x₁ 0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0. 

Аналогично  можно сформулировать задачу для  определения максимальной прибыли:

F2(x)=max(2x₁+10x₂+6x₃+20x₄), 

При ограничениях 

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄ 15,

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄ 120,

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄ 100,

x₁ 0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0. 

Как правило, руководитель фирмы принимает решение  с учетом обоих критериев дохода и прибыли, то есть Fl(x) и F2(x):

Opt F(x)={maxF1(x)=( 4х₁+5х₂+9х₃+11x₄),

                  maxF2(x)=( 2x₁+10x₂+6x₃+20x₄)},  

при ограничениях:  

1x₁+lx₂+lx₃+lx₄ 15,

7х₁+5х₂+Зх₃+2х₄ 120,

3х₁+5x₂+10х₃+15х₄ 100,

x₁ 0, х₂ 0, х₃ 0, х₄ 0. 

В этой задаче формулируется следующее: требуется  найти неотрицательное решение  x₁… ...x₄, в системе неравенств (А) такое, при котором функции F1, F2 принимают максимальные значения.

Линейная  функция F, максимум которой требуется определить, вместе с системой неравенств (А) и условием не отрицательности переменных образует математическую модель исходной задачи.

Так как  функции F1, F2 линейные, а система (А) содержит только линейные неравенства, то получившаяся задача является задачей линейного программирования. Для ее решения используем метод, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированности результатов.

Решение задачи линейного  программирования в  системе MATLAB 

cvec=[-4. -5. -9. -11.;

      -2. -10. -6. -20.]

a=[1. 1. 1. 1.;

   7. 5. 3. 2.;

   3. 5. 10. 15.]

b=[15. 120. 100.]

Aeq=[]; beq=[];

x0=[0. 0. 0. 0.];

[x1, f1]=linprog(cvec(1,:),a, b, Aeq, beq, x0)

[x2, f2]=linprog(cvec(2,:),a, b, Aeq, beq, x0)

Fx=[cvec(1,:)*x1 cvec(2,:)*x1;

     cvec(1,:)*x2 cvec(2,:)*x2]

Lx=[Fx(1,1)/f1, Fx(1,2)/f2

     Fx(2,1)/f1 Fx(2,2)/f2]

krl=[-1. 0. 0. 0. 0]

f1=-f1; f2=-f2;

a0=[1. -4/f1 -5/f1 -9/f1 -11/f1;

     1. -2/f2 -10/f2 -6/f2 -20/f2;

     0. 1. 1. 1. 1.;

     0. 7. 5. 3. 2.;

     0. 3. 5. 10. 15.]

b0=[0. 0. 15. 120. 100.]

Aeq=[]; beq=[]

x0=[0. 0. 0. 0. 0.]

[x0,l0]=linprog(krl,a0,b0,Aeq,beq,x0)

cvec0=[0. -4. -5. -9. -11.;

        0. -2. -10. -6. -20.]

Fx0=[cvec0(1,:)*x0 cvec0(2,:)*x0]

Lx0=[Fx0(1)/f1 Fx0(2)/f2] 
 
 
 
 
 
 

Результаты  решения в системе MATLAB: 

cvec =

    -4    -5    -9   -11

    -2   -10    -6   -20

a =

     1     1     1     1

     7     5     3     2

     3     5    10    15

b =

    15   120   100

Optimization terminated successfully.

x1 =

    7.1429

    0.0000

    7.8571

    0.0000

f1 =

  -99.2857

Optimization terminated successfully.

x2 =

    0.0000

   12.5000

    0.0000

    2.5000

f2 =

-175.0000

Fx =

  -99.2857  -61.4286

  -90.0000 -175.0000

Lx =

    1.0000    0.3510

    0.9065    1.0000

krl =

    -1     0     0     0     0

a0 =

    1.0000   -0.0403   -0.0504   -0.0906   -0.1108

    1.0000   -0.0114   -0.0571   -0.0343   -0.1143

         0    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

         0    7.0000    5.0000    3.0000    2.0000

         0    3.0000    5.0000   10.0000   15.0000

b0 =

     0     0    15   120   100

beq =

     []

x0 =

     0     0     0     0     0

Optimization terminated successfully.

x0 =

    0.9218

    0.0000

   11.7396

    1.5207

    1.7396

l0 =

   -0.9218

cvec0 =

     0    -4    -5    -9   -11

     0    -2   -10    -6   -20

Fx0 =

  -91.5207 -161.3135

Lx0 =

   -0.9218   -0.9218