Оптимизационные задачи в исследовании организационно- управленческих решений

                                    Министерство образование и науки  РФ

         Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение

                                   высшего профессионального образования

 

                «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

     АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

                     Кафедра « Управление строительством»

 

 

                                Курсовой проект

 

На тему: «Оптимизационные задачи в исследовании организационно- управленческих решений.»

 

 

 

 

                                                                  Выполнил: студентка группы 2221б

      Специальность : «Государственное и

                                                       муниципальное управление»

                                Трегубова О. А.

                                                         Проверила: Строганова Я. С.

                                                              Оценка_____________________

 

 

 

                                            Воронеж 2013

Содержание:

 

Введение………………………………………………………………………….3

1. Решение задач линейного программирования…………………………5
1. Решение задач линейного программирования симплекс  методом. …………………………………………………………….5

Пример 1……………………………………………………………9

2. Решение задач линейного программирования графическим способом……………………………………………………………12
2. Решение задач нелинейного программирования……………………..15
1. Решение задач нелинейного программирования методом золотого сечения………………………………………………….15
2. Решение задач нелинейного программирования методом Фибоначчи…………………………………………………………16

Пример 2…………………………………………………………..16

Заключение………………………………………………………………………19

Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 

 ВВЕДЕНИЕ 
  Тема моей работы касается решения задач, возникающих в экономике. При этом встает вопрос о выборе наилучшего в некотором смысле варианта решения. А на поиск возможного варианта часто влияют разного рода факторы, сужающие рамки выбора. Иначе говоря, требуется решить задачу оптимизации, которая состоит в необходимости выбора наилучшего варианта решений среди некоторого, как правило, ограниченного множества возможных вариантов.  Задача оптимизации может быть сформулирована на языке математики, если множество доступных вариантов удается описать с помощью математических соотношений (равенств, неравенств, уравнений), а каждое решение - оценить количественно с помощью некоторого показателя, называемого критерием оптимальности или целевой функцией. Тогда наилучшим решением будет то, которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение, в зависимости от содержательного смысла задачи. Так, например, при инвестировании ограниченной суммы средств в несколько проектов естественной является задача выбора тех проектов, которые могут принести в будущем наибольшую прибыль. При доставке в магазины продукции от различных поставщиков возникает задача минимизации транспортных затрат.

 Процесс формализации задачи называется построением ее математической модели. Он состоит из трех этапов.

1.      Выбор параметров задачи, от которых зависит решение. Эти параметры называют управляющими переменными и обозначают , формируя из них вектор . Принять решение - это значит задать конкретные значения переменных.                                             

2.      Построение числового критерия, по которому можно сравнивать различные варианты решений. Такой критерий принято называть целевой функцией и обозначать через .

3.      Описание всего множества X допустимых значений переменных - ограничений, связанных с наличием материальных ресурсов, финансовых средств, технологическими возможностями и т.п..

 Математическая задача оптимизации состоит в нахождении такого допустимого решения , которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение среди всех возможных решений.

 

 

 

 

 

                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        

 

 

1. Решение задач линейного программирования.
1. Решение задачи линейного программирования симплекс методом.

 Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

  Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных. Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными. Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения

                                                     

переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты                                                 переменные X1, X2, ..., Xr, то решение {b1, b2,..., br, 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b1, b2,..., br ≥ 0.                                            

  Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

  Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.

  Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

  Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то,осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению.

  Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным. Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.                                                  

  Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения.  
При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.

  Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц (Рис. 1.1.1), которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений приведена к допустимому базисному виду, c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные.                                               

  Для составления симплекс-таблицы во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся в левую часть, свободные оставляются справа, т.е. задача записывается в виде системы равенств.                                               

Далее эта система оформляется в виде симплекс-таблиц:

 

 

                                                                                                              Рис. (1.1.1)

Б	Сб	А0	А1	А2	А3	А4	А5	А6	Д2
А4
А5
А6
Δ

 

 

Первая симплекс-таблица подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению.

Алгоритм перехода к следующей таблице такой:

• просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;

• просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;

• среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;

• в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных.

  В результате получают новую симплекс-таблицу, отвечающую новому базисному решению.

  Теперь следует просмотреть строку целевой функции (индексную), если в ней нет отрицательных значений (в задачи на нахождение максимального значения), либо положительных (в задачи на нахождение минимального значения) кроме стоящего на месте  (свободного столбца), то значит, что оптимальное решение получено. В противном случае, переходим к новой симплекс таблице по выше описанному алгоритму.

Пример решения задачи линейного программирования симплекс методом.

F(x) = 57X1 + 49X2 + 46X3

346X1 + 266X2 + 326X3 ≥ 826,

196X1 + 156X2 + 136X3 ≥ 726,

406X1 + 466X2 + 476X3 ≥ 926 .

X1, X2, X3 ≥ 0                                                 

Решение :

Приводим задачу к каноническому виду для этого в левую часть первого ограничения вводим дополнительную переменную Х6 с коэффициентом + 1.

В целевую функцию переменную Х6 вводим с коэффициентом 0.

Получаем,

F(x) = 57X1 + 49X2 + 46X3 + 0X4 + 0X5 + 0X6 max

346X1 + 266X2 + 326X3 + X4 = 826,

196X1 + 156X2 + 136X3 + X5 = 726,

406X1 + 466X2 + 476X3 + X6 = 926 .

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные переменные приравниваем к 0.

Х1=Х2=Х3=0

Получаем опорное решение Х1= (0, 0, 0, 726, 826, 926).

Получаем опорное решение Х1 с единичным базисом Б= ( А4, А5, А6 ).

Вычисляем оценки разложения векторов условий по базису опорного решения по формуле :

Δк=Сб*Хк-Ск, где

Сб=( С1, С2, С3… Сn) –это вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных.

Хк=(Хк1, Хк2…Хnк)- это вектор разложения соответствующего вектора Ак по базису опорного решения.