Контрольная работа по "Менеджменту"

 

 

Задача 3. В компании 70% менеджеров работают в центральном офисе, 30% - в региональных. Вероятность того, что менеджеру центрального офиса потребуется консультация специалиста, равна 0,3, менеджеру регионального офиса – 0,5. Одному из менеджеров потребовалась консультация. Какова вероятность, что он работает в центральном офисе?

Решение.

Пусть событие А-«менеджеру потребуется консультация», событие Н1 – «случайно выбранный менеджер работает в центральном офисе», событие Н2 – «случайно выбранный менеджер работает в региональном офисе». По условию

.

Найдем вероятность события А по формуле полной вероятности:

Тогда условная вероятность того, что менеджер работает в центральном офисе, если известно, что ему потребовалась консультация, по формуле Байеса будет:

 

Ответ. 0,583.

 

Задача 5. Среди десяти деталей три с дефектом. Составить закон распределения числа дефектных деталей среди взятых наудачу четырех. Найти числовые характеристики: моду, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти .

Решение.

Из взятых четырех  с дефектом могут оказаться 0,1,2 или 3 детали. Это будут значения случайной величины. Найдем соответствующие им вероятности.

Закон распределения будет иметь вид:

X	0	1	2	3
p	0.167	0.5	0.3	0.033

 

Наибольшая вероятность у значения Х=1, значит мода Mo(X)=1.

Найдем математическое ожидание:

Вычислим дисперсию:

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

 

 

Функция распределения будет иметь вид:

Построим ее график:

 

 

 

Найдем вероятности :

 

Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность распределения ,математическое ожидание, дисперсию, СКО и вероятность попадания случайной величины Х на отрезок [0;1]. Построить графики функций  и .

Решение.

Найдем плотность вероятности:

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

 

Найдем среднее квадратическое отклонение:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал:

Построим графики функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Выборка годовых объемов привлеченных депозитов 100 коммерческих банков представлена в таблице (усл. ед.):

Требуется:

а) представить объем привлеченных депозитов в виде вариационного ряда, найти моду и медиану выборки;

б) найти размах варьирования ряда и разбить его на 9 интервалов;

в) построить гистограмму частот и относительных частот, с помощью гистограммы сделайте предварительный вывод о нормальном распределении генеральной совокупности;

г) найти числовые характеристики выборки , коэффициент вариации ;

д) найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для годовых объемов привлеченных депозитов при уровне значимости и . Сравните эти оценки и запишите вывод.

е) Пользуясь критерием Пирсона проверьте при уровне значимости гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

Решение.

а)-б) Найдем размах вариационного ряда – это разность между максимальным и минимальным элементами. Максимальное значение варианты равно 250, минимальное 25. Тогда размах равен 250-25=225. Ширина интервала будет . Составляем вариационный ряд, вычисляя частоты вариант:

	25-50	50-75	75-100	100-125	125-150	150-175	175-200	200-225	225-250
	8	9	12	9	17	12	13	11	9
	0,08	0,09	0,12	0,09	0,17	0,12	0,13	0,11	0,09

Найдем моду вариационного ряда:

Найдем медиану вариационного ряда:

в) Построим гистограмму частот:

 

 

 

Построим гистограмму относительных частот, предварительно вычислив высоту столбцов по формуле , чтобы площадь всей гистограммы равнялась единице:

	25-50	50-75	75-100	100-125	125-150	150-175	175-200	200-225	225-250
	8	9	12	9	17	12	13	11	9
	0,08	0,09	0,12	0,09	0,17	0,12	0,13	0,11	0,09
	0,0032	0,0036	0,0048	0,0036	0,0068	0,0048	0,0052	0,0044	0,0036

 

По гистограмме можно предположить, что генеральная совокупность годовых объемов привлеченных депозитов имеет нормальное распределение.

г) найти числовые характеристики выборки , коэффициент вариации ;

Возьмем в качестве значения середину каждого интервала:

	37,5	62,5	87,5	112,5	137,5	162,5	187,5	212,5	237,5
	8	9	12	9	17	12	13	11	9

 

 

Найдем среднее выборочное:

Найдем исправленную выборочную дисперсию по формуле:

Найдем выборочное стандартное отклонение:

Найдем коэффициент вариации:

 

д) найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для годовых объемов привлеченных депозитов при уровне значимости и . Сравните эти оценки и запишите вывод.

Вычислим доверительный интервал для генерального среднего по формуле 
 
Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа. 
В этом случае для и надежности

2Ф(tkp)=γ 
Ф(tkp)=γ/2=0.95/2=0.475 
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475 
tkp(0,95)=1.96 

Тогда доверительный интервал для математического ожидания будет

(141,25-11.981;141,25+11.981)=(129.02;152.98)

Вычислим доверительный интервал для дисперсии по формуле:

Определяем по таблице для :

 

Тогда доверительный интервал для дисперсии будет:

(2855,47;4984,48) 
При уровне значимости расчеты, проведенные  по тем же формулам, позволяют получить для математического ожидания интервал (125,73;156,77) и для дисперсии интервал (2639,4;5494,97).

Сравнивая эти интервальные оценки, можно сделать вывод о том, что при уменьшении уровня значимости ширина интервала увеличивается.

е) Пользуясь критерием Пирсона, проверьте при уровне значимости гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. Статистика вычисляется по формуле:

. где pi  — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону.

Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа

 

 

Дальнейшие расчеты приведены в таблице:

 

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота ni	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)	Ожидаемая частота, 100pi	Слагаемые статистики Пирсона,
25 - 50	8	-1.94	-1.52	-0.47	-0.44	0.0368	3.68	5.07
50 - 75	9	-1.52	-1.1	-0.44	-0.37	0.0705	7.05	0.54
75 - 100	12	-1.1	-0.69	-0.37	-0.25	0.11	11.16	0.0632
100 - 125	9	-0.69	-0.27	-0.25	-0.11	0.14	14.46	2.06
125 - 150	17	-0.27	0.15	-0.11	0.0596	0.17	16.99	0
150 - 175	12	0.15	0.56	0.0596	0.22	0.16	15.61	0.83
175 - 200	13	0.56	0.98	0.22	0.34	0.12	12.08	0.07
200 - 225	11	0.98	1.4	0.34	0.42	0.0827	8.27	0.9
225 - 250	9	1.4	1.81	0.42	0.47	0.0464	4.64	4.1
	100							13.64

 

Таким образом, =13,64. Критическое значение критерия следует определять по таблице для с числом степеней свободы 9-2-1=6 и уровнем значимости . Оно равно .

Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем.