Количественные методы финансового менеджмента

Количественные  методы финансового менеджмента, вариант 3.

 

Задание 1. Взята ссуда на 10 лет в сумме 23000 у.д.е. под 23 % годовых, начисляемых на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года (начисление процентов совпадает со временем возврата). Требуется: составить модель погашения ссуды; вычислить величину годового платежа; определить величину всей возвращаемой суммы и величину общей суммы процентного платежа; сравнить данный вариант с вариантом возврата ссуды вместе с процентами в конце срока операции.

Решение: Из уравнения:

((((PV(1+ r) – CF₁)∙(1+ r) – CF₂)∙(1+ r) – CF₃)∙(1+ r) –…– CF₉)∙(1+ r) – CF₁₀ = 0;

где PV = 23000 у.д.е. – размер ссуды; r = 0,23 – процентная ставка; CF_i – годовой платёж,

получим модель погашения ссуды:

(((((((((23000∙1,23 – CF)∙1,23 – CF)∙1,23 – CF)∙1,23 – CF)∙1,23 – CF)∙1,23 – CF)∙1,23-

– CF)∙ 1,23 – CF)∙1,23 – CF)∙1,23 – CF = 0;

Тогда годовой платёж определится:

23000∙1,23¹⁰ – (1,23⁹ + 1,23⁸ + 1,23⁷ +…+ 1,23 + 1)∙CF = 0,  откуда:

CF =

Или, используя формулу  суммы членов геометрической прогрессии:

CF =

Величина всей возвращаемой суммы:

S = CF∙n = 6053,79∙10 = 60537,9 у.д.е.

Общая сумма процентного платежа:

S% = S – PV = 60537,9 – 23000 = 37537,9 у.д.е.

Сравнивая этот вариант  с вариантом возврата ссуды вместе с процентами в конце срока  операции, когда возвратная сумма:

FV = PV(1 + r∙n) = 23000(1 + 0,23∙10) = 75900 у.д.е.,

в том числе процентный платёж: S% = 75900 – 23000 = 52900 у.д.е.,

можно видеть, что первый вариант  лучше второго.

 

Задание 2. Определить будущую стоимость обыкновенного аннуитета накопления с реальной доходностью 20 процентов в год с учетом инфляции (ежегодный темп инфляции составляет 13 процентов), если ежегодный вклад пренумерандо 1500 у.д.е., а срок операции 7 лет.

Указание. Наращение производить  по номинальной процентной ставке, исчисленной по формуле Фишера.

Решение: Номинальная процентная ставка с учётом инфляции по формуле Фишера определяется выражением:

r_ном = r_реал+ r_инф + r_реал´ r_инф  = 0,2 + 0,13 + 0,2 ∙ 0,13 = 0,36.

Будущая стоимость обыкновенного  аннуитета пренумерандо с номинальной  процентной ставкой r_ном на срок 7 лет составит:

FV₇ = СF[ (r_ном + 1)⁷ + (r_ном + 1)⁶ +…+ (r_ном + 1) ] = 1500 (1,36⁷ + 1,36⁶ +…+ 1,36) =

= 1500 ∙ 30,98 = 43097,41 у.д.е., или:

FV₇ = CF(r_ном + 1)∙ [(r_ном + 1)⁷ – 1]/r_ном =

43097,41 у.д.е.

Задание 3. Финансовый инструмент (актив) генерирует ежегодно постнумерандо в течение 5 лет постоянную сумму CF = 2300 у.д.е.

Реальная (приемлемая) доходность 10 процентов в год, ежегодный коэффициент  риска r_риска = 0,08. Определить номинальную (необходимую) ежегодную ставку дисконтирования с учетом фактора риска и современную (приведенную) стоимость данного аннуитета.

Решение: Номинальная ежегодная ставка дисконтирования определится суммой ставки доходности и коэффициента риска: d_ном = 0,1 + 0,08 = 0,18.

Тогда приведённая стоимость  данного аннуитета:

PV =

= 7192,49 у.д.е.

 

Задание 4. Предприятие рассматривает инвестиционный проект, первоначальные инвестиции по которому I₀ = 18000 у.д.е. Ожидается, что реализация проекта в течение 5 лет обеспечит получение чистого дохода по годам постнумерандо в объемах (у.д.е.): CF₁ = 6600, CF₂ = 8600,  CF₃ = 11600, CF₄ = 10600, CF₅ = 7600. Принятая ежегодная норма (ставка) дисконта d = 13% постоянна в течение всех лет экономической жизни проекта. Требуется: 1) оценить экономическую эффективность проекта, вычислив NPV, PI; 2) сравнить данный проект с альтернативным у которого I_a = 28000 у.д.е., NPV_a= 6750 у.д.е., а срок экономической жизни тоже 5 лет.

Решение: Определим приведённую стоимость денежного потока на момент t = 0, т.е. на момент начала реализации проекта:

=

= 5840,71 + 6735,06 + 8039,38 + 6501,18 + 4124,98 = 31241,31 у.д.е.

Чистая  приведённая стоимость:

NPV = PV – I₀ = 31241,31 – 18000 = 13241,31 у.д.е.

Индекс  рентабельности:

PI = PV/I₀ = 31241,31/18000 = 1,736.

Т.к. NPV > 0, а PI > 1, то проект экономически рентабелен, а затраты окупятся к концу третьего года реализации проекта:

(5840,71 + 6735,06 + 8039,38) = 20615,15 > I₀ = 20000 у.д.е.

Индекс  рентабельности альтернативного проекта:

 Т.к. PI > PI_a (1,736 > 1,241), то альтернативный проект с меньшей рентабельностью должен быть отклонён в пользу первого проекта при прочих равных условиях. Кроме того, второй проект требует гораздо бо̀льших инвестиций, чем первый. 

 

Задание 5. Корпорации предлагается сформировать инвестиционную программу из шести проектов на четыре года при условии, что инвестиционные затраты по годам превышают установленный лимит средств (возможности корпорации по инвестированию ограничены). Корпорация имеет высокий финансовый рычаг и не планирует привлекать заемные средства. Рассматриваемые шесть проектов независимы и имеют тот же класс (уровень) риска, что и текущая деятельность корпорации. Проекты реализуются в объеме не более одного раза, а при необходимости могут реализоваться (инвестироваться) частично, при этом эффект, выраженный NPV, пропорционален доле реализации каждого проекта. Данные по затратам (инвестированию проектов по годам), лимит капитала b_i и NPV_j приведены в таблице:

 

Годы	Инвестиционные затраты по проектам (у.д.е.)						Лимит капитала (bi) по годам (у.д.е.)
	1	2	3	4	5	6
1	230	30	240	140	90	70	550
2	250	230	130	180	70	90	600
3	30	90	80	30	80	330	450
4	60	70	30	70	230	30	350
NPVj	160	210	220	140	160	180

 

Требуется: 1) составить экономико-математическую модель задачи максимизирующей суммарный  NPV; 2) Решить ее симплексным методом на персональном компьютере; 3) произвести анализ результатов решения и чувствительность модели на изменение параметров.

Студенты заочной формы  обучения выполняют в контрольной  работе только первую часть этого  задания, т.е. составляют экономико-математическую модель задачи, а вторую и третью части выполняют во время экзаменационной  сессии на практических и лабораторных занятиях.

Решение: Обозначив долю реализации каждого проекта х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ х₆ и учитывая, что общая сумма инвестиций не может превзойти лимит капитала, получим Экономико-математическую модель задачи в виде системы неравенств:

 

 

 

 

 

Где для которых целевая функция Z максимизирующая общий NPV, запишется:

Z= 160х₁+210х₂+220х₃+140₄+160х₅+180х₆→max.

Решение этой задачи симплекс методом даст значения х_j и величину Zmax, причём возможно не весь лимит капитала в отдельные годы будет инвестирован в проекты.

 

Задание 6. В задаче приведена модель, описывающая зависимость некоторого финансового показателя от нескольких факторов. Требуется при помощи методов предельного анализа: частной производной и коэффициента эластичности произвести анализ чувствительности показателя на изменение факторов при конкретных значениях факторов.

 

Дано: r_ном = r_реал+ r_инф + r_реал´ r_инф - модель  Фишера (1.19) зависимости номинальной ставки от реальной и инфляционной. Проанализировать изменение r_ном при  изменении: 1) r_реал – реальной ставки; 2) r_инф – инфляционной ставки (коэффициента инфляции), если r_реал=0,4, r_инф=0,15 в год.

 

Решение: Влияние каждого из факторов при закреплении на неизменном уровне второго фактора оценим частными производными номинальной ставки по реальной ставке и по инфляционной ставке и частным коэффициентам эластичности:

1. Изменение r_ном при изменении r_реал.

Частная производная   

Т.е. изменение реальной ставки на одну единицу приведёт к изменению номинальной ставки на 1,15.

Коэффициент частной эластичности по r_реал составит:

изменение реальной ставки на один пункт (процент) приведёт к изменению номинальной ставки на 0,754 пункта (процента).

2. Изменение r_ном при изменении r_инф:

Частная производная и  частный коэффициент эластичности составят:

     

Изменение r_инф на 1 изменит r_ном на 1,4, а 1 процент изменения r_инф вызывает изменение r_ном на 0,344 процента.

 

Задание 7. Используя модель САРМ и формулу расчета стоимости (цены) акции компании , произвести вычисления и Р₀, а также ' и Р'₀ по следующим данным:

Первоначальные  значения					Новые значения
									`
7	13	1,3	0,04	4	6	11	1,1	0,03	4

Построить график модели рынка  по первоначальным значениям, определить премии за риски.

Решение: Необходимый уровень дохода согласно модели САРМ по первоначальным данным:

= 7 + 1,3(13–7) = 14,8 % или 0,148.

Стоимость акций по модели Гордона:

Те же расчёты по новым значениям:

 или 0,115;

График модели рынка по первоначальным значениям:

Здесь безрисковым ценным бумагам  с доходностью Rf = 7 % соответствует β - коэффициент равный нулю, а ценным бумагам со средней рыночной доходностью _m = 13%, соответствует    β = 1.

Акции данной компании имеют β = 1,3, поэтому их доходность выше, чем _m. Точка доходности лежит на прямой, соединяющей точку доходности безрисковых ценных бумаг с точкой среднерыночной доходности при β = 1,3.

 

 

Среднерыночная премия за риск по первоначальным данным:

ΔR = _m – R_f = 13 – 7 = 6 %,

 

а премия за риск вложения в активы данной компании:

ΔR_i = e_i – R_f = 14,8 – 7 = 7,8 %.

Те же расчёты для новых значений:

ΔR' =

m – R'_f = 11 – 6 = 5 %,      ΔR'_i = e_i – R'_f = 11,5 – 6 = 5,5 %.

 

Задание 8. На эффективном рынке известны доходность безрисковых активов доходность рыночного портфеля (рынка) β – коэффициенты активов доступных для выбора на рынке: Кроме того, известно предельное (сверху) значение β – коэффициента портфеля активов определенное инвестором, желающим иметь портфель максимальной доходности (выделяемые инвестором средства должны быть полностью инвестированы). Заданы дополнительно следующие условия: доля первого актива в портфеле должна быть не менее 0,23; сумма долей второго и третьего активов должна быть равна 0,33; доля четвертого актива не должна превышать 0,53, а доля пятого актива не должна превышать 0,13.

Требуется:

1) рассчитать по модели  САРМ ожидаемые доходности всех  пяти активов;

2) построить экономико-математическую  модель задачи, максимизирующей  доходность портфеля, сформированного  из данных активов при заданных  ограничениях;

3) решить задачу оптимизации  портфеля симплексным методом; 4) произвести анализ результатов  решения и чувствительность модели  на изменение параметров.

Студенты заочной формы  обучения выполняют только пункты 1) и 2) задания 8, остальные пункты этого  задания выполняют во время экзаменационной  сессии на практических и лабораторных занятиях.

Решение:

1. Ожидаемая доходность каждого  из активов по модели САРМ  составит:

е₁= R_f + β_i( _m – R_f) = 0,1 + 0,76·(0,15 – 0,1) = 0,138;

е₂ = 0,1 + 0,86·0,05= 0,143;

е₃ = 0,1 + 0,96·0,05 = 0,148;

е₄ = 0,1 + 1,06·0,05 = 0,153;

е₅ = 0,1 + 1,16·0,05 = 0,158.

2. Экономико–математическая модель  этой задачи имеет вид: 

Rp =

, при ограничениях:

или в развёрнутом виде:

Rp = 0,138

1+ 0,143 ₂ + 0,148 ₃ + 0,153 ₄ + 0,158 ₅→ max.

при:  0,76 ₁+ 0,86 ₂+ 0,96 ₃+ 1,06 ₄ + 1,16 ₅ ≤ 1,0;  ₁+ ₂+ ₃+ ₄+ ₅ = 1;

1≥ 0,23;  ₂ + ₃ = 0,33; ₄ ≤ 0,53;  ₅ ≤ 0,13.

 

Задание 9. Предположим, что денежные расходы компании в течение года составляют     V = 280000 у.д.е.; приемлемый и возможный для компании процентный доход по краткосрочным ликвидным ценным бумагам r = 0,1, расходы по конвертации (трансформированию) ценных бумаг в денежные средства с = 100 у.д.е. Рассчитать, пользуясь моделью Баумоля – Тобина, сумму разового пополнения Q^*, количество сделок по конвертации в год, общие расходы по реализации такой политики (ОР); прокомментировать политику управления денежными средствами.

Решение: Оптимальная сумма пополнения Q^* может быть определена по формуле Уилсона:

Средний объём денежных средств на счёте:

0,5Q^* = 0,5∙23664,32 = 11832,16 у.д.е.

Количество сделок по конвертации: К= V/Q^* = 280000/23664,32 = 11,83 ≈ 12.

Общие расходы по реализации такой денежной политики в год  составят:

ОР = с∙К + r∙Q/2 = 100∙12 + 0,1∙11832,16 = 2383,2 у.д.е.

Т.е. компания, расходуя в год 280 тыс. у.д.е., пополняет почти ежемесячно свой расчётный счёт на эту сумму путём конвертации краткосрочных ценных бумаг, приобретённых на вырученные от реализации средства. Прямые расходы на конвертацию в течение года (в среднем 12 раз) и упущенная выгода от хранения денег на расчётном счёте примерно равны и составили по 1191,6 у.д.е., а общие расходы = 2∙1191,6 = 2383,2 у.д.е.