Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Мая 2012 в 23:21, курсовая работа
Развитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования и при обработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижает затраты на исследования и повышает качество полученных результатов.
Введение
1 Основные положения теории планирования эксперимента
1.1 Основные понятия и определения
1.2 Этапы планирования эксперимента
1.3 Метод планирования эксперимента в научных исследованиях
2 Факторы эксперимента
2.1. Полный факторный эксперимент2
2.2 Дробный факторный эксперимент7
Заключение5
Список литературы7
23
23
Задание на курсовую работу
Замечания руководителя
Введение
1 Основные положения теории планирования эксперимента
1.1 Основные понятия и определения
1.2 Этапы планирования эксперимента
1.3 Метод планирования эксперимента в научных исследованиях
2 Факторы эксперимента
2.1. Полный факторный эксперимент2
2.2 Дробный факторный эксперимент7
Заключение5
Список литературы7
23
Системный анализ - это методология решения крупных проблем, основанная на концепции систем. Системный анализ может также рассматриваться как методология построения организаций, что реализует методологию решения проблем.
В центре методологии системного анализа находится операция количественного сравнения альтернатив, которая выполняется с целью выбора альтернативы, подлежащей реализации. Если требование равнокачественности альтернатив выполнено, могут быть получены количественные оценки. Но для того, чтобы количественные оценки позволяли вести сравнение альтернатив, они должны отражать участвующие в сравнении свойства альтернатив (выходной результат, эффективность, стоимость и другие). Достичь этого можно, если учтены все элементы альтернативы и даны правильные оценки каждому элементу. Так возникает идея выделения «всех элементов, связанных с данной альтернативой», т. е. идея, которая на обыденном языке выражается как «всесторонний учет всех обстоятельств». Выделяемая этим определением целостность и называется в системном анализе полной системой. Система, таким образом, есть то, что решает проблему.
Развитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования и при обработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижает затраты на исследования и повышает качество полученных результатов.
Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.
Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.
Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.
Опыт – это отдельная экспериментальная часть.
План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.
Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.
В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.
Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.
Теория ПЭ охватывает практически все встречающиеся на практике варианты исследования объектов. В дальнейшем будут рассмотрены следующие типовые задачи экспериментального исследования:
-поиск значений параметров системы, обеспечивающих достижение оптимального значения показателя качества исследуемого объекта при известных ограничениях на значения этих параметров. Перебор всех допустимых сочетаний значений параметров системы с целью поиска оптимального варианта нерационален по затратам ресурсов. Для решения указанной задачи ТПЭ предлагает такую последовательность проведения опытов, которая позволяет применить градиентные методы поиска при априорно неизвестной функции, связывающей показатель качества с параметрами системы;
- приближенное аналитическое описание функциональной связи показателей качества с параметрами системы по результатам проведенного эксперимента. Традиционные методики проведения экспериментов из-за зависимости компонентов восстанавливаемого аналитического описания не позволяют определить раздельное влияние каждого фактора на результирующий показатель, т. е. эти методики обеспечивают получение аналитических зависимостей, пригодных лишь для решения интерполяционных задач. В отличие от них ТПЭ дает возможность оценить вклад каждого параметра в значение показателя, т.е. приближенно восстановить закон функционирования объекта по экспериментальным данным. Полученное аналитическое описание объекта можно использовать для предварительного исследования вариантов построения системы или в интересах построения модели старшей системы, включающей данный объект на правах элемента;
- оценка дифференциального влияния уровней параметров системы на показатель качества. Такая задача возникает в случае, когда параметры системы являются по своей природе качественными или когда количественные параметры могут принимать небольшое число различных значений.
Кроме указанных, существуют и других задачи, решаемые с помощью ТПЭ, например:
- испытания образцов техники. Планирование должно позволить оценить степень соответствия показателей качества образцов заданным требованиям при минимальном объеме испытаний;
- отсеивающие эксперименты. Предназначены выявить параметры, незначительно влияющие на показатель качества системы. Соответствующие планы применяют на начальных этапах исследования, когда нет конкретных сведений о влиянии тех или иных параметров. Отсеивание несущественных факторов снижает трудоемкость решения задач оптимизации или приближенного аналитического описания системы;
- адаптивное планирование. Применяется в условиях управления технологическим процессом, когда система управления все время должна приспосабливаться к конкретным условиям функционирования, а возможно, и предсказывать дальнейшее развитие процесса.
Решение задач с применением ТПЭ предусматривает использование априорной информации об изучаемом процессе для выбора общей последовательности управления экспериментами, которая уточняется после очередного этапа проведения исследований на основе вновь полученных сведений. Тем самым достигается возможность рационального управления экспериментами при неполном первоначальном знании характеристик исследуемого объекта. Целесообразность применения ТПЭ тем выше, чем сложнее исследуемая система.
В ТПЭ исследуемый объект (реальный объект, модель объекта) рассматривается как "черный ящик", имеющий входы v (управляемые независимые параметры) и выходы y.
Оптимизация технологического процесса производства любой продукции содержит важный этап - определение (отыскание) математической модели - уравнения связи выходного показателя качества изделия (целевой функции, параметра оптимизации) с параметрами этого изделия или технологического процесса (входными факторами). Модель - это упрощенная система, отражающая отдельные стороны явлений изучаемого объекта. Каждый изучаемый процесс можно описать различными моделями, при этом ни одна модель не может сделать это абсолютно полно и всесторонне. Однако использование упрощенной модели, отражающей отдельные черты исследуемого объекта, позволяет яснее увидеть взаимосвязь причин и следствий, входов и выходов, быстрее сделать необходимые выводы, принять правильные решения.
Различают физическое и математическое моделирование. При физическом моделировании исследование объекта происходит при его воспроизведении в ином масштабе. Здесь возможен количественный перенос результатов эксперимента с модели на оригинал. Однако для анализа сложных объектов и процессов, каковыми являются большинство электронных схем, конструкций и технологических процессов производства радиоэлектронной техники, приборостроения, машиностроения и других промышленных отраслей, применение физического моделирования затруднительно, поскольку приходится использовать большое число критериев и ограничений, которые могут быть несовместимы, а зачастую и невыполнимы.
Математическое моделирование является методом качественного или количественного описания объектов или процессов, при этом реальный объект, процесс или явление упрощается, схематизируется и описывается определенным уравнением. В большинстве случаев математическая модель представляет собой уравнение регрессии, то есть геометрическое место точек математических ожиданий условных распределений целевой функции. Простейшим примером такой модели является уравнение парной корреляции, где на целевую функцию воздействует один фактор. На практике в реальном производстве на целевую функцию воздействуют много факторов и искомое уравнение регрессии становится многомерным.
Существует много методов отыскания уравнения регрессии, которые можно условно разделить на два класса: методы активного и методы пассивного эксперимента. Под активным экспериментом будем понимать эксперимент, предварительный план которого составлен так, чтобы получить максимальную информацию о целевой функции при минимальной ее дисперсии и проведении минимального числа опытов (эффективный план). Такой план (например, полный факторный эксперимент, который используется в данной работе) требует искусственного одновременного варьирования всеми факторами в довольно широких пределах. Методы активного эксперимента довольно хорошо разработаны в специальном разделе математической статистики, который называется "Теория планирования эксперимента".
Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных, о способах использования полученных результатов для оптимизации исследуемых объектов (например технологических процессов производства массовой продукции). Математический аппарат теории планирования эксперимента построен на сочетании методов математической статистики и методов решения экстремальных задач.
В настоящее время выделяют два основных направления теории планирования эксперимента:
- планирование экстремальных экспериментов;
- планирование экспериментов по выявлению механизма явлений.
Для данной работы интерес представляют методы первого направления.
Любое экспериментальное исследование содержит три этапа:
- этап постановки задачи;
- этап планирования и проведения эксперимента;
- анализ и интерпретация результатов.
Главной трудностью на этапе постановки задачи является переход с языка специальности на язык планирования эксперимента, на язык математики.
Построение математической модели технологического процесса в зависимости от поставленной задачи может преследовать следующие цели: минимизировать расход материала на единицу выпускаемой продукции при сохранении качества, произвести замену дорогостоящих материалов на более дешевые или дефицитных на распространение; сократить время обработки в целом или на отдельных операциях, перевести отдельные режимы в некритические зоны, снизить трудовые затраты на единицу продукции и т.п.; улучшить частные показатели и общее количество готовой продукции, повысить однородность продукции, улучшить показатели надежности и т.п.; увеличить надежность и быстродействие управления, увеличить эффективность контроля качества, создать условия для автоматизации процесса управления и т.п.
Прежде всего необходимо выбрать зависимую переменную Y, которую впредь будем называть целевой функцией или параметром оптимизации, за который принимают один из показателей качества продукции либо по каждой технологической операции отдельно, либо по всему технологическому процессу сразу. Параметр оптимизации должен соответствовать следующим требованиям:
- параметр должен измеряться при любом изменении (комбинации) режимов технологического процесса;
- параметр должен быть статистически эффективным, то есть измеряться с наибольшей точностью;
- параметр должен быть информационным, то есть всесторонне характеризовать технологический процесс (операцию);
- параметр должен иметь физический смысл, то есть должна быть возможность достижения полезных результатов при соответствующих условиях процесса;
- параметр должен быть однозначным, то есть должно минимизироваться или максимизироваться только одно свойство изделия.
За фактор принимают контролируемую величину объекта (изделия, процесса, операции), то есть величину, характеризующую то или иное свойство объекта или режим технологического оборудования. Эта величина, числовое значение которой измеряется в пределах (границах) изменения, должна влиять на параметр оптимизации.
При определении величин количественных оценок во внимание должны приниматься только те факторы, которые имеют четкий метрологический смысл (возможность измерения фактора с определенной точностью).
Описание исследуемого объекта нельзя получить в виде точной формулы функции, справедливой во всем диапазоне существования аргументов. Оно может быть лишь приближенным и на небольшом участке в окрестностях выбранной базовой точки. Аппроксимация искомой математической зависимости представляет собой некоторый полином - отрезок ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость:
(1)
В силу наличия неуправляемых и даже неконтролируемых входных переменных Xi изменение величины Y носит случайный характер, а потому уравнение (1) не дает нам точной связи между входом и выходом объекта и является лишь условным математическим ожиданием случайной величины Y, т.е. уравнением регрессии.
Чтобы отыскать коэффициенты уравнения регрессии по результатам экспериментов в N точках факторного пространства (что является типичной задачей регрессионного анализа), необходимо выполнение следующих предпосылок:
Результаты наблюдений Y1, Y1,...,Yn выходной величины в N точках факторного пространства представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.
Выборочные дисперсии опытов однородны, т.е. статистически неразличимы. Это требование означает независимость выборочной дисперсии от местоположения точки факторного пространства, в которой проводится конкретный опыт (ротатабельность).
Независимые переменные X1, X2,...,Xn измеряются с ошибкой много меньшей, чем величина возможного отклонения выходного параметра Y под влиянием неучтенных факторов.
Тогда задача отыскания коэффициентов уравнения регрессии сводится к решению системы так называемых нормальных уравнений:
, (2)
где Yg – экспериментальные значения выходного параметра, полученные в g-й точке факторного пространства;
- значение выходного параметра, найденные по уравнению регрессии в тех же точках;
d - количество членов в уравнении регрессии.
Выражение (2) является основным критерием проверки правильности найденного уравнения регрессии.
Чтобы система нормальных уравнений, которая может быть представлена в виде матрицы, имела единственное решение, необходимо, чтобы матрица была невырожденной, т.е. чтобы вектор-столбцы были линейно-независимы. Чтобы величины коэффициентов уравнения регрессии не зависели от числа членов матрицы, нужно на нее наложить дополнительное условие ортогональности вектор столбцов.
Общая схема планирования экспериментов для решения экстремальных задач состоит из следующих этапов:
1) постановка задачи;
2) выбор параметра оптимизации;
3) выбор факторов;
4) составление линейного плана;
5) реализация линейного плана и построение линейной модели;
6) поиск области экстремума;
7) описание области экстремума;
8) интерпретация результатов.
Постановка задачи. Решение любой задачи начинается с ее формулировки. При этом необходимо иметь ясное, четкое и вполне однозначное представление о цели работы. Желательно, чтобы эта цель была сформулирована количественно, так как планирование экспериментов связано прежде всего с установлением количественных связей между входными и выходными параметрами изучаемой системы. Разумеется, объект обследования должен быть управляемым.
Выбор параметра оптимизации. Одним из наиболее ответственных этапов является выбор параметра оптимизации. Он должен быть однозначным, характеризоваться числами, действительно определять оптимум. Надо стремиться к тому, чтобы параметр был только один, имел ясный физический смысл и оценивался с максимальной статистической эффективностью (последнее позволяет сократить до минимума число параллельных опытов).
Простейший случай имеет место, когда заранее известен и сам параметр, и то его значение, к которому следует стремиться. При этом иногда приходится изменять вид параметра (например, переходить от его натуральных значений к логарифмам, обратным величинам и пр.). Если значение параметра, к которому следует стремиться, неизвестно, все же следует пытаться установить ограничения его величины хотя бы с одной стороны.
Иногда параметр оптимизации приходится изменять из-за технических трудностей, связанных, например, с отсутствием необходимых методик или достоверных методов оценки. В этих условиях можно применять параметры, дающие косвенные оценки, но поиск экстремума становится во многом интуитивным, а интерпретация результатов усложняется.
Часто возникают трудности в количественной оценке параметра оптимизации. Тогда можно использовать субъективные ранговые параметры, такие, как сорт, балл, класс и др. Некоторые методы планирования экспериментов вообще не требуют количественных оценок параметра оптимизации.
Выбор факторов. Не менее сложен этап выбора факторов, влияющих на изменение параметра оптимизации. Если при постановке задачи пропустить какой-нибудь сильно влияющий фактор, то вся работа окажется бесполезной. Поэтому при планировании экспериментов необходимо включать в план исследования все факторы, которые могут влиять на параметр оптимизации. Часто выбранных факторов оказывается очень много; если число их превышает 10, то возникает задача отсеивания незначимых факторов.
Факторы, которые по тем или иным причинам невозможно учесть в эксперименте, необходимо в течение всех опытов стабилизировать на постоянных уровнях.
Важным требованием, предъявляемым к факторам, является невозможность их взаимозаменяемости. Взаимозаменяемость не следует допускать даже для двух любых факторов из общей совокупности.
Выбирая факторы, рекомендуется учитывать область, ограничивающую их возможное варьирование. Желательно, чтобы факторы имели количественную оценку, хотя планирование экспериментов возможно, когда некоторые факторы представлены качественно.
После выбора факторов для каждого из них устанавливают основной уровень и интервалы варьирования. Последние следует выбирать таким образом, чтобы их величина не превышала удвоенной среднеквадратичной ошибки в определении данного фактора.
Составление линейного плана и определение коэффициентов регрессии производят по правилам, изложенным в первых двух разделах данной главы.
Определение доверительных интервалов коэффициентов регрессии. Если проводятся повторные серии опытов или осуществляется несколько прогонов модели на компьютере, то возникает задача статистической оценки коэффициентов регрессии. После определения таких коэффициентов следует, прежде всего, установить их статистическую значимость.
Статистический анализ уравнения регрессии. После вычисления коэффициентов регрессии и проверки их значимости проводят статистический анализ уравнения регрессии. С этой целью проверяют гипотезу об адекватности данного уравнения, т. е. ищут ответ на вопрос, соответствует ли полученное линейное уравнение изучаемому явлению или необходима более сложная модель.
Количественной оценкой адекватности уравнения регрессии является дисперсия неадекватности, характеризующая квадрат отклонений экспериментальных значений у от теоретических.
Адекватность линейного уравнения можно проверить и другим способом. Свободный член уравнения регрессии bо является, по сути дела, оценкой результата опыта на основном уровне, когда все остальные факторы исключены. Поэтому, сделав соответствующий опыт, можно сравнить его результат с величиной свободного члена, т. е. проверить гипотезу о равенстве нулю суммы коэффициентов при квадратичных членах (нуль-гипотезу). Нуль-гипотеза может быть принята, если разность |b0—у0| не превышает среднеквадратической ошибки эксперимента. Значимость этого различия иногда проверяют сопоставлением с критерием Стьюдента.
Пусть исследуемое свойство Y объекта зависит от n независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости – Y=F(Х1,Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – называется “отклик”, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – “функция отклика”.
Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода – оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.
Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.
Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб.
При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду. Для каждого из факторов указывают граничные значения:
Хimin ≤ Хi ≤ Хimax, i=1,... n.
Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии:
Y = F(X1, X2, ……. , Xn; B1, B2, ….. , Bn)+e
где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность.
Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:
- планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;
- планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление
планов для объектов с качественными факторами;
- планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
- планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;
- планирование при изучении динамических процессов и т.д.
В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT и другие.
23
При проведении эксперимента факторы могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.
Фактор является управляемым, если его уровни назначаются лицом, проводящим эксперимент, в соответствии с задачами исследования. В процессе эксперимента все управляемые факторы должны поддерживаться на заданном уровне или изменяться в соответствии с заданной программой.
Не всяким наблюдаемым (т.е. фиксируемым в процессе эксперимента) фактором можно управлять. Такие наблюдаемые, но не управляемые факторы получили название сопутствующих. К ним относятся, в частности, воздействия внешней среды. Обычно сопутствующих факторов бывает довольно много, поэтому рационально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на результаты эксперимента.
После выбора факторов для каждого из них следует определить область, ограничивающую их возможное варьирование, и назначить основной уровень. Если, например, по условиям эксперимента нас интересует диапазон температуры воды от 20 до 60°С, то основной уровень (для середины интервала) составит 40°, нижний уровень 20°, верхний уровень 60°С. Разница значений между верхним и нижним уровнями фактора не может быть больше физически возможной. Например, для температуры обычной воды при нормальных условиях эта разность не может превысить 100°С. При этом интервал варьирования не должен быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми.
Факторы, которые по тем или иным причинам невозможно учесть в эксперименте, необходимо во всех опытах стабилизировать на постоянных уровнях.
Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях (Рис 1).
Число этих комбинаций N=2n определяет тип планирования. Для гарантированного получения единственного решения системы нормальных уравнений необходимо иметь ортогональную матрицу планирования, что невозможно обеспечить в абсолютной системе единиц факторов Xi , то есть тогда, когда факторы именованные (например, трудно представить 17 километров ортогональными к 12 килограммам). Поэтому необходимо провести предварительное преобразование каждого фактора - его перевод в систему относительных координат.
Рис.1
Такое преобразование легко сделать с помощью переноса начала координат в базовую точку X* и выбора единицы отсчета Xi по каждой координате Xi.
.
Это дает возможность легко построить ортогональную матрицу планирования и значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования Xiв и Xiн в относительных единицах будут равны соответственно xiв = +1 и xiн = -1.
Матрица планирования должна отвечать следующим условиям:
1.Ортогональность:
(3)
2.Условие нормированости:
(4)
3.Симметричность относительно центра экстремума:
(5)
4. Ротатабельность, т.е. координаты точек факторного пространства в матрице планирования подстраиваются так, что точность предсказания значения параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (базовой точки) и не зависит от направления.
Матрица планирования составляется по следующим правилам:
1. Каждая g-я строка матрицы представляет собой набор координат точки , в которой производится эксперимент;
Поскольку переменные xgi принимают лишь значения +1 и -1, то все остальные переменные могут принимать те же значения, что позволяет в целях упрощения записывать в таблицу вместо +1 и -1 их знаки + и -;
Первая строка 1 выбирается так, чтобы управляемые переменные находились на нижнем уровне, т.е. xi1 = -1. Последующие строки при составлении матрицы планирования набираются по правилу: при построчном переборе всех вариантов частота смены знака управляемых переменных для каждой последующей переменной вдвое меньше, чем для предыдущей (см. табл. 1)
Таблица 1 - Матрица планирования трехфакторного эксперимента
g | x1 | x2 | x3 |
1 | - | - | - |
2 | + | - | - |
3 | - | + | - |
4 | + | + | - |
5 | - | - | + |
6 | + | - | + |
7 | - | + | + |
8 | + | + | + |
Поскольку изменение выходной величины Y носит случайный характер, необходимо в каждой точке (т.е. в точке с координатами, записанными в g-й строке) проводить m параллельных опытов и результаты наблюдений Y1g,Y2g,...,Ymg усреднять:
(6)
Величина m может быть любой, но не меньше m=3. Тогда эксперимент делится на m серий опытов, в каждой из которых полностью реализуется матрица планирования (т.е. эксперимент проводится в N=2n точках факторного пространства).
Одним из важнейших положений современной теории планирования эксперимента является «рандомизация». План эксперимента составляется так, чтобы рандомизировать, т.е. сделать случайными те систематически действующие факторы, которые трудно поддаются учету и контролю, для того, чтобы рассматривать их как случайные величины и учитывать статистически.
Перед реализацией плана на объекте необходимо произвести рандомизацию - с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел [1] определить последовательность реализации матрицы планирования в каждой из m серий опытов. Для этого в качестве начала выбирается любое число из табл.[1] и записывается в столбец k1 место g=1. Остальные места этого столбца заполняют числа от 1 до N, следующие по порядку из табл.[1] за выбранным начальным. Следует обращать внимание на то, чтобы числа в столбцах табл.5.2 не повторялись дважды. Пусть, например, при g=4 k1,4=8, это значит, что в первой серии испытаний точка 4 реализуется восьмой по порядку. Результаты эксперимента в каждой из серий испытаний записываются в столбцах Y1,Y2,...,Ym.
Проверка воспроизводимости - это проверка на выполнение второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий Sg 2 .
, (7)
Для проверки гипотезы об однородности оценок дисперсий следует пользоваться критерием Кохрена, который основан на законе распределения отношения максимальной эмперической дисперсии к сумме всех дисперсий, т.е.
(8)
Если вычисленное значение критерия G окажется меньше табличного значения Gкр, найденного для q%-ного уровня значимости, то гипотеза об однородности дисперсий принимается. При этом всю группу дисперсий Sg2 можно считать оценкой S2{Y} одной и той же генеральной дисперсии воспроизводимости s2{Y}.
Если проверка на воспроизводимость дала отрицательный результат, то остается признать либо не воспроизводимость эксперимента относительно управляемых переменных вследствие наличия флуктуаций неуправляемых и неконтролируемых переменных, создающих на выходе большой уровень "шума", либо наличие грубого промаха в строке, откуда взята дисперсия max{Sg2}. В первом случае следует увеличить число параллельных опытов, во втором - найти грубый промах и заменить его на результат доброкачественного измерения при соответствующей комбинации факторов. Если это по каким-то причинам невозможно, то, чтобы не нарушать предпосылки использования критерия Кохрена, на место грубого промаха следует поместить среднюю арифметическую величину Yg данной строки.
Следует также отметить, что критерий Кохрена можно применять не к любой группе выборок, а только к группе выборок одинакового объема, что как раз и имеет место при полном факторном эксперименте.
Оценки коэффициентов уравнения регрессии bi находят по формуле:
(9)
Проверка гипотезы об адекватности проводится с использованием F-критерия Фишера.
Критерий Фишера позволяет проверить нуль-гипотезу о равенстве двух генеральных дисперсий sад2 и s2{Y}. В связи с тем, что самих генеральных дисперсий мы не знаем, F-критерий формируется как отношение
, (10)
где vад = N - d число степеней свободы числителя; vз - число степеней свободы знаменателя; q - уровень значимости. Значения Fкр берут из специальной таблицы, например в [1].
В ходе работы может возникнуть ситуация, когда выборочная дисперсия адекватности Sад2 не превосходит оценки дисперсии воспроизводимости S2{Y}. Тогда соотношение (5.15) будет равно F<1 и неравенство F<Fкр выполняется для любого числа степеней свободы, т.е. гипотеза не противоречит выборочным данным и математическая модель адекватно представляет объект.
Число опытов в полном факторном эксперименте быстро возрастает с ростом числа факторов. Так, при трех факторах будем иметь 23 = 8 опытов, при 5 факторах — 25 = 32 опыта, а при 8 факторах уже 28 = 256 опытов. Это вызывает необходимость разработки методов отбора части переменных, наиболее существенно влияющих на поверхность отклика. Поэтому, хотя полный факторный план 2k является удобным с точки зрения простоты проведения анализа параметров функции регрессии, тем не менее при большом числе факторов его применяют редко. 0ри трех и более факторах количество опытов можно существенно сократить за счет потери части информации, не очень существенной при построении линейных моделей. Для этого вместо плана 2* следует использовать описанный ниже дробный факторный план 2k-p (2k-pk+1), который предназначен для реализации 2k-p опытов. Для построения дробных планов (реплик) используют матрицы полного факторного эксперимента. Дробные планы создают делением числа опытов полного факторного эксперимента на число, кратное двум. Так получают 1/2 реплики (полуреплику), 1/4 реплики (четвертьреплику) и т. д.
Вначале рассмотрим линейную функцию регрессии, зависящую от трех факторов:
(11)
Для оценки четырех коэффициентов b0 , b1, b2, b3 требуется провести четыре опыта, а проведение полного факторного эксперимента, состоящего из восьми опытов, позволяет несмещенно оценить не только общее среднее b0 и главные эффекты b1,b2, b3, но также и всевозможные взаимодействия первого и второго порядков, т. е. все параметры неполной кубической модели
(12)
содержащей восемь коэффициентов. Следовательно, восемь опытов, поставленных для оценки коэффициентов линейной модели (11), будут содержать в два раза больше информации, чем требуется.
Для оценивания параметров функции регрессии (11) можно построить план, предназначенный для проведения не восьми, а четырех опытов. Для этой цели факторы х1 и х2 следует варьировать, как в плане 22, а в качестве уровня фактора х3 нужно выбрать значение взаимодействия, т. е. х3=х1х2. Получим план, определяемый матрицей, приведенной в табл. 2.
Таблица 2
№ опыта | Матрица плана | |||
X0 | X1 | X2 | X3 | |
1 | +1 | +1 | +1 | +1 |
2 | +1 | -1 | +1 | -1 |
3 | +1 | +1 | -1 | -1 |
4 | +1 | -1 | -1 | +1 |
Рассмотрим вопрос построения дробных реплик более подробно. Вернемся к функции регрессии (12). Матрица плана этой модели приведена в табл. 2.
Рассмотрите эту таблицу более внимательно и обратите внимание, что второй столбец таблицы совпадает с девятым, третий — с восьмым, четвертый — с седьмым, пятый — с шестым. Следовательно, при использовании этого плана нет различий между x0 и x1x2x3; x1 и x2x3; х2 и x1x3; х3 и х1х2, т. е.
(13)
На этом основании можно утверждать, что вместо отыскания оценок восьми параметров функции регрессии (12) можно найти оценки лишь четырех смешанных коэффициентов:
(14)
При этом главные эффекты, включая общее среднее, оцениваются независимо друг от друга, но смешиваются соответственно с эффектами взаимодействий второго и первого порядка. Если постулируется линейная модель (11), то эффекты взаимодействий считаются незначительными, а смешанные коэффициенты (14) превращаются в параметры модели (11).
Таким образом, полный факторный эксперимент 23 при постулировании линейной модели можно рассматривать как совокупность двух полуреплик. План называют полурепликой или планом 23-1 полученным из полного факторного плана 23 путем приравнивания единице произведения x1x2x3, т.е.
(15)
Это соотношение называется определяющим для данной полуреплики. Другая полуреплика 23-1 получится из определяющего соотношения x1x2x3, т. е. если уровни фактора х3 устанавливать в соответствии с равенством х3= —x1x2.
Для иллюстрации отмеченных положений рассмотрим конкретный пример.
Пример 1. План полного факторного эксперимента и его результаты записаны в левой части (столбцах 1...6) табл. 3. Требуется составить уравнения регрессий для полного факторного эксперимента я для его дробных реплик, если известно, что функция отклика линейна (либо постулируется ее линейность).
Таблица 3
№ опыта | х0 | х1 | х2 | х3 | y | x1x2 | x1x3 | x2x3 | x1x2x3 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
1 | +1 | -1 | -1 | -1 | 4 | +1 | +1 | +1 | -1 |
2 | +1 | +1 | -1 | -1 | 16 | -1 | -1 | +1 | +1 |
3 | +1 | -1 | +1 | -1 | -4 | -1 | +1 | -1 | +1 |
4 | +1 | +1 | +1 | -1 | 8 | +1 | -1 | -1 | -1 |
5 | +1 | -1 | -1 | +1 | 8 | +1 | -1 | -1 | +1 |
6 | +1 | +1 | -1 | +1 | 20 | -1 | +1 | -1 | -1 |
7 | +1 | -1 | +1 | +1 | 0 | -1 | -1 | +1 | -1 |
8 | +1 | +1 | +1 | +1 | 12 | +1 | +1 | +1 | +1 |
Решение. Запишем уравнение регрессии для линейной поверхности отклика
(16)
Коэффициенты bi будем определять по формуле в соответствии с приемами, указанными в пояснениях к этой формуле.
Вначале определим коэффициенты регрессии, используя данные полного факторного эксперимента будем иметь:
(17)
Построим дробные реплики, для чего заполним правую часть табл. 3 (столбцы 7...10) и выберем строки, у которых 10-й столбец имеет одинаковые знаки. В результате получим две полуреплики:
Таблица 4
№ опыта | x0 | x1 | x2 | x3 | y |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Первая полуреплика | |||||
2 | +1 | +1 | -1 | -1 | 16 |
3 | +1 | -1 | +1 | -1 | -4 |
5 | +1 | -1 | -1 | +1 | 8 |
8 | +1 | +1 | +1 | +1 | 12 |
Вторая полуреплика | |||||
1 | +1 | -1 | -1 | -1 | 4 |
4 | +1 | +1 | +1 | -1 | 8 |
6 | +1 | +1 | -1 | +1 | 20 |
7 | +1 | -1 | +1 | +1 | 0 |
Определим коэффициенты регрессии по дробным репликам.
Для первой полуреплики будем иметь: b0 = (16 — 4 + 8 + 12) / 4 = 8;
b1 = (16 + 4 – 8 - 12) / 4 = 6;
b2 = (-1б – 4 - 8 + 12) / 4=-4;
b3 = (-16 + 4 + 8 + 12) / 4 = 2.
Для второй полуреплики b0=(4 + 8 + 20 + 0) / 4=8;
bl=(-4+8+20-0)/4=6;
b2 =(-4+8-20+0)/4=-4;
b3 = (-4-8 + 20)/4=2.
Как и следовало ожидать, во всех трех случаях для линейной поверхности отклика получены одинаковые результаты.
На рис. 2 приведена схема полного трехфакторного эксперимента и его полуреплик. Цифрами отмечены номера опытов с указанием в скобках координат факторов x1, x2,x3. Точки 2, 3, 5, 8 соответствуют первой полуреплике, а цифры I, 4, 6, 7 — второй. Обратите внимание, что каждая из полуреплик наиболее полно охватывает опытные точки факторного пространства.
Рис. 2. Схема трехфакторного эксперимента
При большом числе факторов т для оценивания параметров линейной функции регрессии (7) можно строить дробные реплики высокой степени дробности. Так, при т=7 можно построить дробную реплику из полного факторного плана 23 для первых трех факторов, приравняв четыре остававшихся фактора к двухфакторным и трехфакторному взаимодействиям трех других факторов, положив, например
(18)
Такую реплику записывают как 27-4.
В общем случае дробную реплику обозначают через 2т-p, если р факторов приравнены к произведениям остальных т—p факторов, уровни которых выбраны согласно полному факторному плану. Дробную реплику 2т-p можно строить различными способами. Для анализа системы смешивания коэффициентов пользуются понятиями генерирующих и определяющих соотношений.
Генерирующими называют соотношения, с помощью которых построена дробная реплика. Так, для реплики, представленной в табл. 5, генерирующим является соотношение х3=x1х2, а это указывает, что фактор х3 занимает в матрице столбец, соответствующий взаимодействию x1x2. Для указанной выше реплики 27-4 генерирующим является соотношение (18).
Определяющим соотношением (определяющим контрастом) называют равенство, в левой части которого стоит единица, а в правой — какое-либо произведение факторов. Для дробной реплики 2т-p можно получить p различных определяющих соотношений из генерирующих путем умножения обеих частей последних на их левые части с последующей заменой (хi)2 на 1 (i=1, .., т). Другие определяющие соотношения получаются путем перемножения ранее полученных и выделения среди них новых.
Построим определяющие соотношения для реплики 27-4, задаваемой генерирующими соотношениями (18). Умножая обе части равенств (18) на их левые части, получаем четыре определяющих соотношения:
(19)
Попарное перемножение этих четырех соотношений дает шесть новых:
(20)
Перемножение каждой тройки из четырех соотношений 20 Дает еще три определяющих соотношения:
(21)
Наконец, перемножая все четыре соотношения (19), получаем
(22)
Легко понять, что кроме (19)...(22), других определяющих соотношений для рассмотренной реплики 2+7-4 нет.
Знание определяющих соотношений позволяет найти всю систему совместных оценок без изучения матрицы планирования дробной реплики. Для того чтобы определить, с какими взаимодействиями смешано данное, нужно на него умножить обе части всех определяющих соотношений.
Определим, например, с какими взаимодействиями смешан главный эффект b3 в дробной реплике 27-4, определяемой генерирующими соотношениями (18). Для этого умножим все определяющие соотношения (19)...(22) на х3. Получим
Следовательно, главный эффект b3 смешан с эффектами взаимодействий первого порядка
с эффектами взаимодействий второго порядка
третьего порядка
четвертого порядка
и пятого порядка
В конкретной практической ситуации для выбора подходящей дробной реплики полного факторного плана необходимо использовать все априорные сведения теоретического и интуитивного характера об объекте планирования с целью выделения тех факторов и произведений факторов, влияние которых на результаты измерений существенно. При этом смешивание нужно производить так, чтобы общее среднее b0 и главные эффекты b1,..., bm были смешаны с эффектами взаимодействий самого высокого порядка (так как обычно они отсутствуют) или с эффектами таких взаимодействий, о которых известно, что они оказывают несущественное влияние на результаты измерений. Отсюда следует, в частности, что недопустимо произвольное разбиение полного факторного плана 23 на две части для выделения полуреплики 23-1.
Качество дробного факторного плана иногда характеризуют с помощью разрешающей способности плана, которая равна наименьшему числу символов в правых частях определяющих соотношений. В частности, для плана разрешающей способности III ни один главный эффект не смешан ни с каким другим главным эффектом, но главные эффекты смешаны с эффектами двухфакторных взаимодействий. Для плана разрешающей способности IV главные эффекты не смешаны друг с другом и с эффектами двухфакторных взаимодействий, но последние друг с другом смешаны. Для плана разрешающей способности V главные эффекты и эффекты двухфакторных взаимодействий не смешаны, но последние смешаны с эффектами трехфакторных взаимодействий. Все три рассмотренные выше дробные реплики имеют разрешающую способность III.
.
23
Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:
1. Минимизировать общее число опытов;
2. Выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;
3. Использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;
4. Одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;
5. Организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;
6. Получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;
7. Рандомизировать условия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;
8. Оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями.
В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в
инженерной практике редко. В данной курсовой работе было кратко изложена методика составления плана эксперимента для моделей.
Размещено на Allbest
23