Золотое сечение в природе и искусстве

      Существует  несколько способов листорасположения. В первом  листья побега располагаются  строго один под другим, образуя  вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.

      Винтовое  расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу  оборотов по стеблю воображаемого винта  одного листового цикла, а знаменатель-  числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом ортостих на стебле. Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения листьев.

      Оказалось, что каждое растение  характеризуется  своим листорасположением. Так, у  липы, вяза, бука, злаков листорасположение описывается формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

      Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности  расположены строго закономерно -  по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число  таких спиралей у сосновых шишек  равно 8 и 13  или 13 и 21 . Такие же спирали  видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся

как  числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника  семена также расположены по   

-5-

двум  спиралям, их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим  закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 13/21 и т.д. Их отношение в пределе стремится к числу j = 0,61803…

      Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом.

      При изменении формулы листорасположения  изменяется и угол расхождения листьев. Формула 1/2  характеризует двурядное расположение листьев под углом друг от друга. При формуле 1/3 угол между листьями будет , а при формуле 2/5 - и т.д. В предельном случае, когда отношение чисел в формуле будет отвечать золотой пропорции -  0,38196… угол расхождения листьев станет равным , который был назван «идеальным» углом, или углом золотой пропорции ( =Ф²). Установлено, что при расположении листьев под идеальным углом ни один лист не будет располагаться точно над другим, чем создаются лучшие условия для фотосинтеза. 

Загадки египетских пирамид.

Все на свете страшится  времени

А время страшится  пирамид.

Арабская  пословица

      О египетских пирамидах с восхищением  писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в  глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

      Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная  и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число  «пи» и золотую пропорцию, число  дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.

      Правильная  четырехгранная пирамида является одной  из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и  гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

      Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота  - не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

      Методической  ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры  пирамид, выраженные в метрической  системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

      Прежде  чем приступить к анализу формы  и размеров пирамиды Хеопса, следует  учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У  египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

      Трудно  допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более  очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.

      Рассмотрим  размеры пирамиды Хеопса (рис.7). Длина  стороны основания 

      –6-

пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

      Высота  пирамиды (H)  оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо.    Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м² нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

      Угол  наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник  Г.Вайз: он равен  . Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному из золотой пропорции = 1,27202 и является иррациональной величиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное .          

      Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H  к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь по проекту).

      Таким образом, основные элементы конструкции  пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.

      А теперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрических размеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272= ; ON/MN=Ф.

      Рассмотрим  теперь поверхность пирамиды. Она  состоит из четырех треугольников  и квадрата основания. Основание  треугольника BOC равно 500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя.

      Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности  граней к площади основания также  равно золотой пропорции.

      Еще Геродот, основываясь на рассказах  египетских жрецов, писал, что площадь  квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковых  граней. По нашим расчетам, квадрат  высоты равен 318² = 101127 кв. локтей, что почти точно отвечает площади боковой грани (101125 кв. локтей).

      Многие  исследователи указывают, что отношение  удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем «египетском p», равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа «пи» (3,14159…).

      –7-

      Интересно сравнить два основных отношения, установленных  нами при изучении геометрических пропорций  пирамиды: 2H/L= и 2L/H=p. Отсюда получаем простую и красивую формулу, связывающую число «пи» и золотую пропорцию: 4/p= .

      Гениальные  создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – p и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.   

      Золотая пропорция в искусстве  Древней Греции.

      Великолепные  памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди  них первое место по праву принадлежит  Парфенону.

      Всю вторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительство храмов, пропилей (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.

      Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка  Акрополя за Парфеноном относятся как  отрезки золотой пропорции. При  взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношения массива скалы и храма также соответствуют золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

        Размеры Парфенона хорошо изучены,  но приводимые замеры не всегда однозначны. Следует учесть, о чем сказано ниже, что геометрия архитектуры храма очень непростая – в ней почти отсутствуют прямые линии, поэтому определение размеров затруднено. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1 : 2 , а план образует прямоугольник со сторонами 1 и . Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер , следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.

      Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8  , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2  , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 = Ф.

      Многие  исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и  находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе   В.Смоляка, посвященной изучению пропорций Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада храма, Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда: 1: j: j²: j³: j⁴: j⁵: j⁶. Указанным членам ряда отвечают основные пропорции фасада  Парфенона (рис.8).