Зарождение и создание теории действительного числа

Однако благодаря  теореме Пифагора открыта иррациональность, которая была серьезным ударом учению пифагорейцев. Школой Пифагора было установлено, что отношение диагонали квадрата к его стороне не может быть рациональным числом. Доказательство этого факта имеется в «Началах» Евклида. Полагают, что это и есть пифагорейское доказательство [10, стр. 73]. Приведем его в современной трактовке[10, стр. 73]. 

Пусть -- диагональ  квадрата, а -- его сторона. Тогда  их отношение равно отношению  целых чисел. Выберем такие числа, чтобы они были взаимопростыми. 

Возведем эту  дробь в квадрат . По теореме Пифагора , следовательно 

(1) 

Отсюда следует, что - четное число. Из свойств четных и нечетных чисел следует, что  и четное, следовательно . Подставляя в (1), имеем 

Из чего следует  что, четное число, а значит и n четное, что невозможно т.к. m и n взамопростые. 

Это замечательный  пример того, что математики называют красивым доказательством, некоторые  исследователи полагают, что это  было первое в истории доказательство «от противного»[1, стр.235]. Возможно, доказательству этой теоремы предшествовали попытки найти практически общую меру этих двух величин[7, стр. 92]. 

Это открытие потрясло греков. «...проблема несоизмеримости  получила громкую известность среди  широких кругов образованных людей»[10, стр. 73]. Есть легенда о том, что Пифагор в благодарность богам принес в жертву сто быков[7, стр. 91]. Возможно было даже мнение что этот результат должен остаться тайным[1, стр.235]. 

Несоизмеримость не имела геометрического осмысления. Это явление назвали «алогон», не поддающееся осмыслению. Термин «иррациональность» является латинским переводом этого слова[7, стр.91]. В истории математики крушение пифагорейской арифметики называют Первым кризисом математики. 

Вслед за открытием иррациональности последовало открытие иррациональности чисел , сделанное Теодором(Феодором) из Кирены. Ученик Теодора Теэтет(начало IV в. до н.э.) доказал несколько теорем и критериев несоизмеримости, в частности он предложил метод для доказательства иррациональностей вида . Теэтет классифицировал иррациональности, также он считается творцом общей теории делимости. 

2.1 Следствия  первого кризиса и попытки  его преодоления 

Открытие несоизмеримости  оказало огромное влияние на греческую  мысль. «Именно с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности»[1, стр. 235]. Дело в том, что до открытия несоизмеримости греки находили общую меру при помощи алгоритма Евклида. Но случае несоизмеримых отрезков алгоритм переставал быть конечным. Этот факт побудил греков к рассмотрению бесконечности. Однако понятие бесконечности давалось грекам с трудом и глубоко смущало их. Трудности связанные с понятием бесконечного привели к еще большему кризису в математике и нашли отражение в знаменитых апориях Зенона Элейского. Эти апории(парадоксы) вскрывали противоречия между теми кто считал что материя и время бесконечно делимыи теми, кто считал что существуют первичные неделимые единицы. Приведем самые интересные для затронутой темы парадоксы по [10]. 

1. Парадокс «Дихотомия»  построенный в предположении,  что пространство делимо до  бесконечности. 

Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что сначала оно должно дойти до середины отрезка, потом  до середины остатка отрезка, потом до четверти отрезка и так далее. Таким образом тело должно пройти бесконечный набор точек. 

2. Парадокс «Стрела», построенный в предположении,  что время пространство и время  состоят из неделимых элементов. 

Стрела в некоторый  момент времени находится в точке в неподвижном состоянии. Так как это верно в каждый момент времени, то стрела покоится.  

Несмотря на то что, в этих парадоксах отражено незнание греками понятия предела, эти парадоксы не так просты. Вопросы, поставленные Зеноном, обсуждались  философами и математиками во все времена. В частности такими математикам как Гильберт и Вейль. Но для греческих математиков вопрос был в том, допустимо или не допустимо использовать бесконечность в математике. Этот вопрос в греческой математике стоял очень остро. Например, Протагор(V в. до н.э) отрицал даже все математические абстракции[10, стр. 94]. 

Первая концепция  бесконечного, которая стала общепринятой в греческой математике, была выдвинута  Анаксагором(V в. до н.э.) и развита  Евдоксом Книдским. Евдоксу принадлежит метод исчерпывания, который был призван разрешить проблему несоизмеримых. Для этого он строит теорию величин аксиоматически. Величины в понимании Евдокса имеют различную природу - отрезки, числа, время, но все величины характеризуютсяДалее цитаты из «Начал» Евклида, приведенные по[10, стр.96]: 

1. Транзитивностью.  «Равные одному и тому же  равны между собой».  

2. «Если к  равным прибавляются равные, то  и остатки будут равны».  

3. «Если от  равных отнимаются равные, то  и остатки будут равны».  

4. Эквивалентностью. «...совмещающиеся друг с другом равны между собой».  

5. Все величины  одного вида упорядочены, т.е.  

.  

6. «...целое больше  части».  

7. «величины  имеют отношение друг с другом, если они взятые кратно могут  превзойти друг друга» (или в  современной трактовке: если , то найдется такое что ).Эту аксиому Евдокс вводит, чтобы исключить бесконечно большие величины. Она известна в математике под названием аксиомы Архимеда, однако Архимед не только не был ее автором, но даже подчеркивал, что это аксиома была известна до него[2, стр. 148].  

Построение этой аксиоматики было значительным шагом  в сторону теории действительного  числа. 

На множестве  величин Евдокс определил операцию отношения. Два отношения и считались  равными если для любых целых  чисел выполнялось одно из следующих условий: 

1. и  

2. и  

3. и .  

Аналогичным способом определялись и неравенства между  отношениями. Этот оператор разбивал все  величины на классы пропорциональных друг другу. Евдокс также установил  транзитивность операции отношения. 

Как отмечено в [2, стр. 149], введение единозначного оператора  отношения для любого вида величин, подразумевало что для любой  пары величин а величины найдется величина такого же вида, что и , такая  что , но явно это положение не формулировалось  и не рассматривалось. 

Как видно из определения, каждое несоизмеримое  отношение определяло два класса рациональных чисел. Существенным пробелом являлось то, что не устанавливалось  обратное соответствие. 

Но основе построения Евдокса возник метод исчерпывания, основанный на аксиоме Архимеда. Теперь математики не приписывали длины отрезкам, а сравнивали их с другими отрезками. «... метод исчерпывания ... позволил грекам решать задачи, ставшие впоследствии предметом исчисления бесконечно малых»[1, стр. 239]. 

После разгрома античной культуры, ее достижения подхватили арабы, в том числе и «Начала» Евклида в которых описаны иррациональные числа. Однако математика арабов носила больше практический, вычислительный характер. «Преобладающее место ... заняло создание разнообразных вычислительных методов и измерительных средств для нужд торговли, административного управления, землемерия, картографии, астрономии, календаря и т.д.»[11, стр. 98]. Это способствовало тому, что арабы оперировали с иррациональными числами формально не уделяя особого внимание теоретическому обоснованию иррациональных чисел. По этой причине грань между «настоящими» числами и иррациональными постепенно стиралась. Также были сведены воедино несоизмеримость геометрических отрезков и арифметическая иррациональность. 

В 1077 Омар Хайям, пытаясь преодолеть проблему несоизмеримости, в своем труде «Комментарии к  трудностям во введениях книги Евклида» определяет, два отношения равными, если равны все соответствующие  неполные частные разложения этих дробей в непрерывные дроби. Хайям показал равносильность этого определения с античным и ввел умножение и деление отношений. В заключении своей работы Хайам приходит к необходимости обобщения понятия числа и расширения его на иррациональные числа. Идеи Хайама получили признание среди арабских математиков. Его идеи развил Ат-Туси, а в XIII в. каждое отношение с уверенностью приравнивалась к числу[11, стр. 101]. Здесь интересно отметить, что в Европе до XVI в. существовало представление о несоизмеримых. 

В Средневековой  Европе вопросы, связанные с бесконечностью имели большей частью схоластический и метафизический характер.  

3 Становление  теории предела 

Строгая математическое построение понятия вещественного  числа стала возможной благодаря  теории предела. 

Человек, получивший современное математическое образование с трудом представляет себе дифференциальное и интегральное исчисление без аппарата теории предела. Однако, исторически производная появилась раньше предела. Причины такого явления в[1] объясняются насущной потребностью естествознания в XVII веке методах дифференциального и интегрального исчисления. 

В XVII идеи связанные  с инфинитезимальными методами начали бурно развиваться. Здесь стоит  отметить таких математиков как  Декарт, Ферма, Паскаль, Торричелли, Кавальери, Роберваль, Барроу. Метод квадратур, разработанный в античности, нашел широкое применение и развитие. Исследовался вопрос касательных -- было дано определение, более общее чем античное, были построены методы отыскания касательных. Были сделаны попытки ввести производную. Было даже установлено, что задача о нахождении касательной обратна к задаче о квадратуре. 

Несмотря на отсутствие строгости «...математики достигали все большего мастерства в обращении с понятиями, лежащими в основе исчисления бесконечно малых»[1, стр. 263]. 

Методы бесконечно малых завоевывают популярность у математиков и все больше используются и совершенствуются. Интегральное и дифференциальное исчисление постепенно оформляется и обобщается трудами таких ученых как Ньютон(1643-1727) и Лейбниц(1646-1716). Так, Ньютон установил связь между производной и интегралом, предложил новый метод решения уравнений при помощи производной. Он разработал метод флюксий, который связал производную с мгновенной скоростью и ускорением. При помощи этого метода он разрабатывал интегральное и дифференциальное исчисление. Также Ньютон предложил алгоритм для нахождения производной функции, основанный на ранней форме теории пределов. Основой и мощным средством метода флюксий было разложение функций в ряды, правда без должного обоснования их сходимости. 

Лейбницу мы обязаны большим количеством  удобных и красивых обозначений  в интегральном и дифференциальном исчислении. К своим результатам Лейбниц пришел независимо от Ньютона. Пользуясь знаниями из комбинаторики он разработал формальный метод вычисления интегралов. Лейбниц ввел понятие дифференциала определив его через касательные, нашел некоторые правила нахождения дифференциала сложной функции, а также ввёл дифференциалы высших порядков. Также Лейбницем были разработаны методы поиска точек экстремума и точек перегиба. Сильной стороной теории Лейбница, с точки зрения практических вычислений, была алгоритмичность и формальность. 

И Ньютон, и Лейбниц  решили множество практически важных задач, пользуюясь понятиями бесконечно малых величин, их точки зрения на производную и интеграл отличались друг от друга. Так Ньютон для решения  дифференциальных задач использует метод флюксий, а Лейбниц дифференциалы. Ньютон рассматривает интегрирование как задачу обратную дифференцированию(в наших понятиях, отыскание первообразной), а Лейбниц рассматривает интеграл как сумму площадей бесконечно малых прямоугольников. Вполне естесственно, что две эти концепции были конкурирующими друг другу. 

Ньютон и Лейбниц, используя в своих выкладках  бесконечно малые, не могли объяснить  их природу, потому что не представляли себе малой величины и конечной и  отличной от 0. Оба ученные близко подошли к понятию предела, но «..узкая концепция числа, не допускавшая отождествления некоторых отношений с числами, была отчасти причиной того, что ни в ньютоновской, ни в лейбницевой теориях не могло "прорезаться" понятие предела»[1, стр. 275]. Математики пользовались интуитивными и геометрическими соображениями. Функции понимались как кривые, полученные некоторым движением(так же как их рассматривали древние греки). «Первые создатели анализа и их последователи принимали как нечто само собой разумеющееся справедливость двух основным представлений о пространстве и механическом движени»[4, стр. 36]. Вероятно по этой причине связь между непрерывность и дифференцируемость долгое время считались почти синонимами. 

Однако метод  бесконечно малых доказал свою плодотворность и нужность математике, от этого проблема фундамента для интегрального и дифференциального исчисления становилась еще более острой. Споры были не только среди математиков; жестким нападкам подвергалась вся математика, например, со стороны богослова Д. Беркли. Это состояние математики XVII-XVII получило название второго кризиса математики. 

Вслед за Ньютоном и Лейбницем попытки определить понятие бесконечно малой предпринимались  Эйлером, Даламбером и Лагранжем. Эти  попытки нельзя назвать бесполезными, этими работами укрепилось в матетике понятие функций, что сыграло свою роль дальнейшие поиски теории предела. Однако построить связанную и логически обоснованую теорию не получилось. 

Таким образом  к XIX веку в математике сложилась  парадоксальная ситуация. Налицо были несомненные успехи математических наук в естествознании, разработана методика обращения с рядами, дифференцирования и интегрирования, решены многие важные задачи, но понимния на чем основан математический анализ не было. Необходимость разобраться с фундаметом новой математики стала всеобщей и насущной.