Зарождение и расширение предмета математики

    МАТЕМАТИКА 

    Содержание: 

    I. Определение  предмета математики» связь с  другими науками и техникой 

    II. История  математики до 19 века

    1. Зарождение  математики (Египет, Вавилония)

    III. Современная математика 

    1. Расширение  предмета математики 
 

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА  МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ  С ДРУГИМИ НАУКАМИ  И ТЕХНИКОЙ.

    Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

    «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает  чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его  происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать  эти формы и отношения в  чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее  в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1953, стр. 37). Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики наполняется всё более богатым содержанием (см. об этом ниже, особенно раздел III — Современная математика).

    Математика  и другие науки. Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определённая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если все трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлении, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.

    Типичным  примером полного господства математического  метода является небесная механика, в  частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения  почти полностью определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но решение возникающей здесь задачи движения n материальных точек под действием сил тяготения уже в случае n=3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математического анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.

    С переходом  от механики к физике еще не происходит заметного уменьшения роли математического  метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти  не существует области физики, не требующей  употребления весьма развитого математического  аппарата, но часто основная трудность  исследования заключается не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов  полученных математическим путем. В  этом смысле современная квантовая  физика, несмотря на употребление глубокого  и своеобразного математического  аппарата, в меньшей степени может  рассматриваться как сфера господства математического метода, чем некоторые  отделы классической физики (классическая термодинамика, теория электричества  и т. п.).

    На  примере ряда физических теорий можно  наблюдать способность математического  метода охватывать и самый процесс  перехода познания действительности с  одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую.

    Классическим  образцом может служить соотношение  между макроскопической теорией  диффузии, предполагающей дифундирующее вещество распределенным непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определённому уравнению с частными производными. К нахождению решении этого дифференциального уравнения — при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку дело идет об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определенный смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопии, случайных перемещений диффундирующих частиц под действием толчков молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближенно) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на которых построена непрерывная теория. Приведенный пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

    В биологических  науках математический метод играет более подчинённую роль. Если и удаётся описать течение биологических явлений математическими формулами, то область пригодности этих формул остаётся весьма ограниченной, а соответствие их реальному ходу явлений грубо приближённым. Объясняется это не принципиальной невозможностью математического изучения биологических явлений, а их большим качественным разнообразием.

    В ещё  большей степени, чем в биологии, математический. метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных науках. Здесь особенно велика опасность, абстрагировав форму течения явлений, пренебречь накоплением качественно новых моментов, дающих всему процессу существенно иное направление. Существенным остаётся значение математики для социальных дисциплин (как и для биологических наук) (кроме подсобной науки — математической статистики. (В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого исторического этапа приобретают столь доминирующее положение, что математический метод отступает на задний план.

    Математика  и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из исторического очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математических методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на те же запросы практики математического естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи математики с техникой чаще имеют характер применения уже изданных математических теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математических теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов уравнений с частными производными впервые начинается с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений развиваются на почве электроники и т. д. В новейшее время из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей — теория передачи информации. Задачи синтеза регулирующих и счётно-решающих устройств привели к развитию новых разделов алгебры. По преимуществу под непосредственным воздействием технических нужд возникли начертательная геометрия номография. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технические задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технических проблем. Всё большие требования к вычислительной технике предъявляют, впрочем, и теоретические научные исследования, даже в таких молодых областях естествознания, как, напр., геофизика. Поэтому всё большее значение приобретает механизация численного решения математических проблем. Техника сама приходит теперь на помощь математике; вслед за простейшими счётными машинами, планиметрами и интеграфами появляются гармонич. анализаторы, интегрирующие машины для решения дифференциальных уравнений, машины для решения систем линейных уравнений и другие машины для решения разнообразных математических задач. Каждая из таких машин предназначена для решения отдельного строго определённого класса задач, и создание новых машин для решения новых типов задач возможно лишь в результате сознательной работы учёного. Машинная вычислительная техника является мощным вспомогательным средством научного исследования. 

    II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ  ДО 19 в.

    Ясное понимание самостоятельного положения  математики как особой науки, имеющей  собственный предмет и метод, стало возможным только после  накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые  в Древней Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие математики до этого времени  естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6—5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам и т. п. Первые шаги механики и физики [за исключением отдельных исследований греческого учёного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли еще удовлетвориться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с которым имела дело М. до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

    В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков  сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически  изучать движение, процессы изменения  величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин  в аналитической геометрии французского учёного Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального  исчисления начинается период математики переменных величин, который можно условно назвать также периодом «высшей математики». Естественно, впрочем, что ни в этот, ни в следующий период не прекращалось и дальнейшее развитие элементарной математики.

    Дальнейшее  расширение круга количественных отношений  и пространственных форм, изучаемых  математикой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики. 

    1. Зарождение математики.

    Счёт  предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных  чисел. Только на основе разработанной  системы устного счисления возникают  письменные системы счисления и  постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх  арифметических действий (из которых  только деление еще долго представляло большие трудности). Потребности  измерения (количества зерна, длины  дороги и т. п.) приводят к появлению  названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение  площадей и объёмов, потребности  строительной техники, а несколько  позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное  значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии. 

     Египет. Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математической теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й половины 2-го тысячелетия до н. э. состояние египетской математики того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев все трудности действий с целыми числами на основе системы счисления, понятной из примера египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, которые были бы теперь записаны в виде уравнений с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, соответствующего формуле