Закон больших чисел

Введение

 

Для решения многих практических задач необходимо знать комплекс условий, благодаря которому результат совокупного воздействия большого количества случайных факторов почти не зависит от случая. Данные условия описаны в нескольких теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Простейшая форма закона больших чисел - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел.

Для доказательства данных теорем используют неравенство Чебышева, которое лежит в основе качественных и количественных утверждений закона больших чисел. Оно определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа. Замечательно, что неравенство Чебышева дает оценку вероятности события для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

Предельные теоремы теории вероятностей объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.

Центральная предельная теорема  утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

 

1.Закон больших  чисел

 

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти независящему от случая, т.к. позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. При этом теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим. Но вначале воспользуемся неравенством Чебышева для доказательства данных теорем. И рассмотрим ряд других теорем.

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин.

С помощью неравенства Чебышева можно рассчитать вероятность отклонения случайной величины от любого числа ɛ. Но здесь уже используется дисперсия случайной величины.

Неравенство Чебышева имеет вид:

где   а = M(X)

 

         ɛ > 0

Данная формула позволяет рассчитать вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания превысит любое число ɛ. Вероятность противоположного события, т.е. P (|X - a| ≤ ɛ), так же как и в неравенстве Маркова рассчитывается по следующей формуле:

Неравенство Чебышева можно применять для любых случайных величин. В первом случае оно устанавливает верхнюю границу вероятности, а во втором - нижнюю.

Данное неравенство имеет для практики ограниченное значение, т.к. часто даёт грубую, а иногда и не представляющую интереса оценку. Однако теоретическое значение неравенства очень велико.

Многие явления и процессы протекают непрерывно или периодически при большом числе испытаний. В этом случае среднее значение случайной величины колебается в определенных пределах или даже стремится к вполне определенному значению. Иными словами, случайная величина перестает быть случайной и может быть предсказана с высокой степенью вероятности (рис.1). Отклонение случайной величины от средней арифметической в каждом конкретном случае есть безусловно. А при бесконечно большом числе испытаний эти отклонения взаимно погашают друг друга и средний их результат стремится к какому-то постоянному значению, т.е к математическому ожиданию. В этом и заключается смысл закона больших чисел.

рис.1

Другими словами, если взять предел вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания при стремлении к бесконечности числа испытаний n, то он будет равен единице.

Рассмотрим пример: пусть вероятность поступления заказа в магазин А равна 0,2 или каждый 5-й звонящий делает заказ. Составим закон распределения поступления 5-ти заказов.

n = 5

m - число поступивших заказов

p = 0.2

q = 1 – p

рис. 2

Из графика (рис.2) можно увидеть, что вероятность поступления 3-х заказов составляет чуть больше 0,05, а 4-х и 5-ти - очень низкая. Т.е. в каждой серии из 5-ти звонков число заказов может выпадать например 2 0 1 0 1 2 0 1 0 3 ...... и т.д. Числа 3, 4, 5 будут выпадать очень редко. Число 5 - практически невозможное событие. В общем, если число серий по 5 звонков будет стремиться к бесконечности, то средняя арифметическая случайной величины X1 - будет стремиться к математическому ожиданию М(Х) = 1. Что и описывает закон больших чисел.

Отсюда можно сформулировать теорему Чебышева, которая гласит, что если дисперсии n независимых случайных величин не превышают какую-то величину С, т.е. ограниченны, то при стремлении числа n к бесконечности средняя арифметическая этих случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий. Т.е. Это означает, что отклонение средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит сколь угодно малое число ɛ или ( |Хср - аср| < ɛ). В этом заключается смысл данной теоремы.

 

2.Предельные теоремы  закона больших чисел

 

Рассмотрим теорему Бернулли. Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом n для произвольного ε >0 справедливо неравенство:

 

  

Переходя к пределу, имеем:

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытаниях. Из теоремы видно, что отношение m/n обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Иногда (при решении практических задач) требуется оценить вероятность того, что отклонение числа m появления события в n испытаниях от ожидаемого результата nр не превысит определенного числа ε. Для данной оценки неравенство переписывают в виде

Пример1. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления меньше чем на 0,1.

Решение:

Вероятность появления герба р= 0,5, тогда q = 1- 0,5= 0,5; n= 1000, ε = 0,1. Используем теорему Бернулли: 

Расшифруем неравенство

 

  

Раскрывая модуль и решая неравенство относительно m получим: 400<m<600. Итак, вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления равна вероятности того, что герб выпадет от 400 до 600 раз из 1000 и равна 39/40.

Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.

Локальная теорема Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях с вероятностью появления события A равной p(0<p<1) событие A наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле

где

– Функция Гаусса,

– аргумент функции Гаусса;

– вероятность противоположного события  .

Формулу   называют локальной формулой Лапласа.

Функция  обладает следующими свойствами:

1) она является четной  функцией  ;

2) для значений аргумента  больше четырех она сколь угодно  мала 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Вероятность, что в n независимых испытаниях событие A с вероятностью появления p(0<p<1) наступит не менее  раз и не более  (независимо от последовательности появления) приближенно определяется зависимостью

где – интегральная функция Лапласа;

– аргументы интегральной функции распределения;

 – вероятность невыполнения события  .

Функция   обладает следующими свойствами:

1) она является нечетной  функцией

2) для аргументов больше  пяти она равна 0,5

 

 

Таблицы табулирования функций, применяемых в формулах можно найти в сборниках по теории вероятностей и интернете.

Рассмотрим задачи на применение каждой из теорем.

Пример 1. Есть 100 лунок по которым случайным образом разбрасывают 30 шариков. Каждый шарик с равной вероятностью может попасть в любую лунку (в одну лунку попадает не более одного шарика). Найти вероятность того, что в выбранную лунку попадет ровно один шарик.

Решение. Проводится   независимых бросков шариков с одинаковой вероятностью попадания при каждом броске

Вероятность попадания в лунку ровно одного шарика определим по локальной формуле Лапласа:

Для этого определяем составляющие

и подставим в зависимость

Пример 2. Проводится 200 независимых опытов с вероятностью успеха в каждом 24%. Какова вероятность успешного проведения 50 опытов?

Решение. По условию 

находим составляющие формулы Лапласа

Подставляя в формулу, находим

Рассмотрим неравенство Маркова:

Допустим, есть случайная величина Х, которая принимает только положительные значения и имеет математическое ожидание, например число заказов на покупку офисной техники в месяц. Тогда для любого положительного числа А верно неравенство:

Второе неравенство справедливо выполняется, т.к. события P (x > A) и P (x ≤ A) противоположные.

Например, среднее число заказов на покупку офисной техники за месяц равно 500. Оценить вероятность того, что в следующем месяце число заказов составит более 600.

Т.е. вероятность того, что число заказов превысит 600 составляет не более 0,833. Соответственно вероятность того что, число заказов составит не более 600 будет:

 

3.Теорема Ляпунова

 

Закон больших чисел устанавливает условия, при которых среднее значение случайной величины стремится к некоторой постоянной, при стремлении числа испытаний к бесконечности. Существует группа теорем, которая описывает условия стремления закона распределения случайной величины к нормальному. Одна из таких теорем - теорема Ляпунова. Данная теорема устанавливает некоторые условия, при которых закон распределения суммы Yn = X1 + X2 + ... + Xn случайных величин при стремлении n к бесконечности стремится к нормальному закону распределению. Рассмотрим эти условия: если есть независимые случайные величины X1, X2, X3 ... и каждая из этих величин имеет математическое ожидание М(Хi) и дисперсию D(Xi), абсолютный центральный момент третьего порядка bi и предел отношения стремится к нулю, то закон распределения суммы этих величин при стремлении n к бесконечности приближается к нормальному закону распределения

Необходимо отметить то, что скорость стремления закона распределения случайной величины в каждом явлении может быть разная. В одних случаях n может равняться десяткам, а в других сотням, тысячам и т.д.

Заключение

 

Закон больших чисел играет важное значение в теоретическом плане, т.к. он служит обоснованием методов математической статистики. На практике закон больших чисел можно продемонстрировать на примере погоды. Например, атмосферное давление каждый день есть величина случайная. Однако ее среднегодовое значение в течении многих лет практически не изменяется.

Каждая из приведённых выше теорем позволяет рассчитать появление интересующих нас событий с учётом сложившихся условий и заданных параметров. Так, локальная теорема необходима при определении конкретного количества появления событий, интегральная теорема Муавра-Лапласа – в случаях, когда задан диапазон возможного количества появлений события.

 

Список использованной литературы

 

1. Теория вероятностей и математическая статистика/Гмурман В.Е – 9-е издание, М.: Высшая школа, 2003. –101-108с.;
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и мат.статистике:уч.пособие/В.Е. Гмурман – 3-е изд., М.: Высш.шк., 1979-85с.;
3. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике и случайным процессам/ Дмитрий Письменный – 3-е изд., М.:Айрис- пресс, 2008 – 162 – 172с.;
4. http://yukhym.com/ru/ - Решение задач по локальной теореме Лапласа и интергральной теореме Муавра – Лапласа;
5. http://www.mathanalysis.ru/ – Математический практикум;
6. http://www.matburo.ru/ - Учебник по теории вероятностей;
7. http://apollyon1986.narod.ru/ - Лекции по теории вероятностей.