Задачи по "Математике"

ЗАДАЧИ  КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 

   Задачи  № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса. 

9)        

Решение

   Задача  № 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

 

1-й  способ (метод Крамера).

По формулам Крамера, найдем решение:

2 способ (решение с  помощью обратной  матрицы).  

Перепишем систему уравнений в виде AX = B, где

                 , , .

Решение матричного уравнения имеет вид  X = A^-1B. Найдем обратную матрицу A^-1. Имеем следующий главный определитель системы:

    

Вычислим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы:

, , , ,

, , , ,

.

Тогда обратная матрица имеет вид:

                      , следовательно,

  .

    Ответ: x = 2; y = -1; z = 3. 

3 способ (метод Гаусса).

    

.

Из последнего уравнения имеем z = 3; подставляя это значение во второе уравнение, получаем y = -1 и тогда из первого уравнения находим x = 2. 

Задачи  № 11 - 20.    Найти производные функций:

15)   а) ;   б) .

Решение

 
 
 

Задачи  № 21-30.     Найти общее и частное частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, соответствующего начальным условиям:

при , , .

21) ;      

Решение

Составим характеристическое уравнение имеет вид:

Следовательно, общее решение уравнения без  правой части таково:

Так как n=1 не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение уравнения с правой частью в виде

Подставляя эти  выражения в наше неоднородное уравнение, получим

 Итак, частное решение уравнения с правой частью есть

Общее же решение  этого уравнения на основании  предыдущей теоремы имеет вид:

Найдем частные  решения:

Задачи  № 31-40

38) В  группе из 25 студентов, среди которых  10 девушек, разыгрываются 5 путевок.  Найти вероятность того, что среди  обладателей путевок окажутся  две девушки.

Решение

Задача решается с помощью классической формулы  для вычисления вероятностей:

Ответ:  
 

Задачи  № 41-50

Закон распределения дискретной случайной  величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии. 

Решение

Расчет  ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.

Математическое  ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Для вычисления характеристик случайной величины Y=3X+20 воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

Ответ:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Аудиторная  контрольная работа по дисциплине «Математика» 

Вариант № 1

1. Решить систему уравнений: .

Решение

Ответ: х=1, у=-1.

2. Найти производную: .

Решение

3. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди  отобранных студентов окажутся 5 отличников.

Решение

Задача решается с помощью классической формулы  для вычисления вероятностей:

Ответ:  

4. Задан закон  распределения дискретной случайной  величины Х:

 
 

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее  квадратическое отклонение.

Решение

Расчет  ведем по формулам для числовых характеристик  дискретных случайных величин.

Математическое  ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Ответ: