Задачи на комбинаторику и логику

Задачи на  комбинаторику и логику 

Должикова  Юлия

Задача 1 

• В  мешке изюма содержится 2001 изюминка  общим весом 1001 г, причем ни одна  изюминка не весит больше 1,002 г. Докажите, что весь изюм можно  разложить на две чаши весов  так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.
• Подсказка
• Подсказка. Набирайте на одной чаше самые тяжелые изюминки, пока чаша не станет весить больше 500 г.
• Решение
• Решение. Возьмем 500 самых тяжелых изюминок и положим их на левую чашу весов. Поскольку вес каждой изюминки не больше 1,002 г, то вес 500 изюминок составляет не больше 500*1,002=501 г. 1) Пусть самая легкая из 500 самых тяжелых изюминок весит больше 1г. Тогда суммарный вес изюминок на левой чаше будет больше 500 г., но не меньше, чем 501 г. Положим оставшиеся изюминки на правую чашу весов. Поскольку общий вес всего изюма равен 1001 г., разница между весами на двух чашах будет не больше 1 г. 2) Рассмотрим второй случай - пусть самая легкая из 500 самых тяжелых изюминок весит не больше 1г. Тогда, если нужно, доложим несколько изюминок на левую чашу пока вес чаши не станет превосходить 500 г. Поскольку мы докладывали изюминки весом не больше одного 1 г., то суммарный вес изюминок на левой чаше будет больше 500 г. Тогда положим оставшиеся изюминки на правую чашу, и также, как и в первом случае, получим, что разность между весами чаш не будет превосходить 1 г.

Задача 2 

• Почему  на часах стрелки ходят слева  направо (по часовой стрелке), а  не наоборот?
• Ответ: Именно так движется тень в самых первых часах - солнечных. А затем уже механические часы скопировали направление движения стрелок. Кстати, в Южном полушарии все наоборот - тень в солнечных часах движется против часовой стрелки.

Задача 3 

• В  некотором городе ввели новый  порядок. Теперь каждого, кто хочет  попасть в город, на входе останавливали  стражники и задавали один  и тот же вопрос: "Зачем ты  хочешь войти в город?" Если  человек в ответ на этот  вопрос говорил правду, то его  топили в пруду, а если неправду - вешали на виселице. Долгое время  никто не мог войти в город, пройдя через это испытание. Но  нашелся такой человек, который  сказал, что он сможет пройти, не будучи утопленным в пруду  или повешенным на виселице. Похвастался  и... прошел! Что же он сказал  страже?
• Ответ: "Я пришел, чтобы быть повешенным."

Задача 4 

• В  одном городе все люди были  торговцами или гончарами. Торговцы  всегда говорили неправду, а гончары - правду. Когда все люди собрались  на площади, каждый из собравшихся  сказал остальным : "Вы все торговцы!" Сколько гончаров было в этом  городе?

 

• Ответ: Гончар был один, т.к.: 1. Если бы  гончаров не было, то торговцам  пришлось бы сказать правду, что  все остальные торговцы, а это  противоречит условиям задачи. 2. Если бы гончаров было больше  одного, то каждому гончару пришлось  бы соврать, что остальные торговцы.

Задача 5 

• Два  математика, не достигшие пенсионного  возраста, встретились после долгого  перерыва. Приведем фрагмент их  диалога:
• - Ну, а дети у тебя есть?
• - Три сына.
• - А сколько им лет?
• - Если перемножить, будет как раз твой возраст.
• - (После размышления.) Мне этих данных недостаточно.
• - Если сложить их возраст, получится сегодняшнее число.
• - (Вновь после размышления.). Все еще не понимаю.
• - Кстати, средний сын любит танцевать.
• - Понял.
• А Вы можете определить возраст каждого из сыновей?

 

• Ответ: Математик знает произведение  и сумму трех целых чисел  и не может их определить. Значит, эти числа таковы, что их нельзя  однозначно определить. Если переберем  все натуральные числа в разумных  пределах, соответствующих условию  задачи, например, от 20 до 60, то убедимся, что почти во всех случаях  эти числа раскладываются на  произведение из трех сомножителей, имеющих разные суммы. Есть только  два исключения:
• 36 = 1*6*6 = 2*2*9, суммы множителей равны 13,
• 40 = 2*2*10 = 1*5*8, суммы множителей равны 14.
• Подходит лишь последний вариант, в котором есть средний сын. Итак, возраст 1 год, 5 и 8 лет.

Задача 6 

• Задачка  для второго класса церковноприходской  школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут  решить только 30% старшеклассников  и только 20% студентов ВУЗов

 

• ЗАДАЧА

 

• Продавец  продает шапку. Стоит 10 р. Подходит  покупатель, меряет и согласен  взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика  с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу  в 15 руб. Через какое то время  приходит соседка и и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать  ей деньги. Ну что делать. Продавец  лезет в кассу и возвращает  ей деньги.

 

• ВОПРОС: на сколько обманули продавца?

 

• Ответ: Рассуждаем: доходы продавца: 25р  от мальчика расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р) итого 25-50=-25, т.е. убыток 25р
• Можно рассуждать и по другому: соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать. Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)