Языки натурального ряда, действительных чисел, рациональных чисел, векторных систем, Евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского

Цели:

1. показать, что языки натурального ряда, действительных чисел, рациональных чисел, векторных систем, Евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского построены по правилу структуры;
2. найти реализации системы аксиом  T.

Задачи: 

1. Сформулировать понятие отношений между объектами;
2. Сформулировать понятие математической структуры;
3. Привести примеры математических структур;
4. Сформулировать теорию математической структуры;
5. Привести примеры реализации системы аксиом Т.

Понятие отношений между  объектами.

  Принято считать, что всякое отношение выражает связи между объектами или, что тоже, элементами x, y, … , некоторых множеств AÎx, BÎy, … . Отношения между двумя элементами xÎA и yÎB называют двухместными или бинарными отношениями. Все такие отношения будем обозначать P(x,y), xÎA, yÎB. Отношение P(x,y) можно представлять разными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение P(x,y) определяет множество p(x,y)  упорядоченных пар (x,y) некоторых элементов xÎA и yÎB по следующему правилу:

  (x,y) Îp Û {выполняется P(x,y)}                                    (1)

  Множество упорядоченных пар (x,y) "xÎA и "yÎB называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A´B.

Следствие 1.

  Всякое  бинарное или двухместное отношение P(x,y) между элементами x, y двух множеств AÎx и BÎy представляется некоторым подмножеством P(x,y)ÌA´B по закону (1). Обратно, всякое подмножество PÌ A´B по этому же закону (1) представляет некоторое отношение P(x,y).

  Отношение P(x,y) между элементами множества Q называется отношением эквивалентности, обозначим его P(x,y)º(x~y), если выполняются три условия:

1. Рефлексивности x~y;
2. Симметричности: если x~y, то y~x;
3. Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.

  Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур,  параллельность прямых и т.д.

  Любое отношение эквивалентности P(x,y) для (x,y)ÎQ´Q определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x,yÎQ попадают в один класс тогда и только тогда, когда x~y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством Q по отношению P и обозначается Q/P или Q/p, что равносильно в силу следствия 1.

  Отношение эквивалентности разбивает множество  Q на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение Q на непересекающиеся классы задает на Q отношение эквивалентности. Действительно, если Q=Q ÈQ È…ÈQ … и Q ÇQ =Æ при i¹j, то отношение принадлежности элементов одному классу

(xÎQ )Ù(yÎQ ) º P (x,y) удовлетворяет условиям 1) - 3) отношения эквивалентности.

Следствие 2.

  Задание отношения эквивалентности на некотором  множестве равносильно разбиению  этого множества на непересекающиеся подмножества.

  Аналогично  двухместному, определяются n–местные отношения между элементами x ÎA ,…,x ÎA некоторых множеств A , …, A .

  Декартово произведение A ´A ´…´A есть множество упорядоченных наборов (x ,x ,…,x ) элементов x ÎA ,…,x ÎA . n–местное отношение P(x ,…,x ) представляется некоторым подмножеством pÌ A ´A ´…´A по закону 

  { P(x

Понятие математической структуры.

    Аксиоматика натурального ряда, аксиоматика натуральных чисел,          аксиоматика действительных чисел, векторные системы, Евклидова   геометрия, геометрия Лобачевского – все эти «языки» построены по одному            общему правилу – правилу структуры.

     Структура подразумевает знаковую систему такую, что:

• Выделены объекты Q (Q₁, Q₂, Q₃…), ( в геометрии точки, примеры, плоскости);
• Заданы отношения P(P₁,P₂,P₃…) между объектами (в геометрии 5 отношений: инцидентности, порядка, конгруэнтности, отношения, определяющие свойства непрерывности, отношение параллельности);
• Указана система аксиом Т (Т₁, Т₂…Т₂₀), в геометрии их 20, регулирующая отношения P над Q.

Следовательно, математической структурой называется система отношений  P(P₁,P₂,P₃…), заданная на базовых множествах посредством Q (Q₁, Q₂, Q₃…) системы аксиом Т (Т₁, Т₂…Т₂₀) .

Таким образом, определенную математическую структуру  будем обозначать = {Q,P,T}. Для краткости эту структуру, соответствующую системе аксиом T иногда будем обозначать .

Примеры.

Указанные в  начале пункта аксиоматики задают, соответственно, структуры: натуральных  чисел, действительных чисел, векторных  пространств, структуру геометрического  евклидова пространства и структуру  арифметического евклидова пространства.

Теория  структуры - система всех утверждений, доказываемых логическим путем в структуре . Аксиоматическую теорию структуры будем обозначать символом .

Пример.

Теорема о  внешнем угле треугольника: внешний  угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника является элементом теории структуры абсолютной планиметрии (геометрии плоскости, построенной в системе 14 аксиом планиметрии  без аксиом параллельности).

Модель  или  реализация системы  аксиом.

  Модель  системы аксиом T представляет собой такую совокупность некоторых объектов и отношений между ними, для которой выполняются все требования системы аксиом T.

  Модель  или реализация системы аксиом T называется также моделью или реализацией как аксиоматической теории , так и структуры . Эту реализацию будем обозначать R(T)=R(T , …,T ).

  Примеры реализаций:

• Множество действительных чисел является реализацией евклидовой прямой.
• Арифметическая модель векторного пространства является реализацией системы аксиом векторного пространства размерности три.
• Арифметическая модель евклидова пространства

является  реализацией как системы аксиом Гильберта, так и системы аксиом Вейля евклидовой геометрии.

• Множество n–местных наборов чисел (x ,…,x ) является реализацией n-мерного арифметического евклидова пространства.
• Модель Пуанкаре является реализацией планиметрии Лобачевского.