Введение в стереометрию

 
 
 
 
 

Реферат на тему:

«Введение в стереометрию» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

I.Основные аксиомы стереометрии

 

      В стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

      Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение: 

• Имеется четыре точки, не лежащие  в одной плоскости (рис. 1)

 

       Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости: 
 
 

• Через любые три точки  проходит плоскость.

       С третьей  аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.

       Аксиома пересечения плоскостей звучит так: 
 

• Если  две плоскости  имеют общую точку, то их пересечение  есть прямая.
• (рис.2)

      Отсюда  следует: если три точки лежат  на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.

 Действительно, если через какие- то три точки  проходят две разные плоскости, то через  эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости  пересекаются. Отметим, что последнее  свойство само нередко включается в аксиомы.

      Третья  аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда  роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности  четыре и выше плоскости могут  пересекаться по одной точке. К трем указанным  так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

      В качестве следствия выведем прямо  из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две  общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

 Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость β. Она отлична от плоскости α, так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит, β пересекается с α по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.

 

      Путем несложных доказательств мы находим, что:

• На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.

 

II. Прямые, плоскости, параллельность.

 

     Уже такое основное понятие,  как параллельность прямых, нуждается в новом определении:

две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости  и не имеют общих точек. Так  что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

• Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.

   Сохраняется  и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:

• Если две прямые а и b параллельны   третьей прямой с, то они параллельны друг другу.

     Но  доказать это свойство в стереометрии  сложнее. На плоскости непараллельные  прямые обязаны пересекаться  и потому не могут быть одновременно  параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

   На рис. 4 изображён  куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.

       В стереометрии отношение параллельности рассматривается  и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:

• Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
• Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

      Наиболее  важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и  плоскости:

• Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

      А вот признак параллельности плоскостей:

• Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

      Часто используется и такая простая  теорема:

• Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

      Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости  следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.