Введение в математический анализ

      Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в  соответствии со следующей теоремой. 

      Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то

 
 

Сравнение бесконечно малых функций. 

      Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

      Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x. 

      Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b. 

      Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка. 

      Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b. 

      Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.

т.е. функция  f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x. 

      Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля. 

      Однако  следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение  не имеет предела, то функции несравнимы. 

      Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b. 

      Пример. Если , то при х®0 не существует, т.е. функция a и b несравнимы. 
 

Свойства  эквивалентных бесконечно малых. 

      1) a ~ a,   

      2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,     

      3) Если a ~ b, то b ~ a,          

       4) Если a ~ a₁ и b ~ b₁ и , то и   или . 
 

Следствие:  а) если a ~ a₁  и , то и

                                б) если b ~ b₁ и , то

     Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно  фактически означает, что предел отношения  бесконечно малых не меняется при  замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов. 

      Пример. Найти предел

Так как  tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

 

      Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx = при х®0, то . 

      Пример. Найти предел  

      Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

      Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g. 

      Пример. Функция х² +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х², b = х, тогда

. 
 

Некоторые замечательные пределы. 

      , где P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n, 

Q(x) = b₀x^m + b₁x_m-1 +…+b_m - многочлены.

Итого:

     Первый  замечательный предел.      

     

     Второй  замечательный предел.       

      Часто если непосредственное нахождение предела  какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

       Кроме трех, изложенных выше, пределов  можно записать следующие полезные на практике соотношения:

     

 
 

      Пример. Найти предел.

 

     Пример. Найти предел. 

      Пример. Найти предел. 

 

      Пример. Найти предел. 

 
 
 

      Пример. Найти предел. 

 

      Пример. Найти предел   . 

      Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель  данной дроби. 

x² – 6x + 8 = 0;                                   x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4;                                 D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4;                               x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ;                               x₂ = (8 – 4)/2 = 2; 

Тогда  

      Пример. Найти предел. 

  домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

= . 
 

     Пример. Найти предел. 

 

      Пример. Найти предел . 

      Разложим  числитель и знаменатель на множители.

x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к. 
 

x³ – 6x² + 11x – 6    x - 1

                                                       x³ – x²                      x² – 5x + 6

                                                         - 5x² + 11x

                                                         - 5x² + 5x

                                           6x - 6

                                      6x - 6                     0 

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда  

      Пример. Найти предел. 

 
 

- не определен, т.к. при  стремлении х к 2 имеют место  различные односторонние пределы  -∞ и +∞. 
 

Непрерывность функции в точке. 

      Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе:  

      Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва. 

     Пример  непрерывной функции: 
 
 

           y 

                             f(x₀)+e

                                f(x₀)

                             f(x₀)-e 

0  x₀-D   x₀ x₀+D                                  x 
 
 
 
 

      Пример разрывной функции: 

                                    y 

                             f(x₀)+e

                                f(x₀)