Вектор

 
 
 
 

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Глава 6. Скалярное произведение  

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ - угол между векторами и , то .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).
2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).
3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.
4. .
5. .
6. .

Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:

;      ;      .

Скалярное произведение используется для решения  следующих основных задач:

1.   ;          2.   ;          3.   .         

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

Величины  называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно .

Теорема: В ортонормированном базисе

; 
; 
; 
.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это самостоятельно.

Глава 7. Векторное произведение 

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой).

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;
2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;
3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если  один из векторов нулевой, то векторное  произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

 
 
 

Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).

Пример: Если дан вектор , то каждый вектор можно представить в виде суммы , где – ортогонален , а – коллинеарен . Легко видеть, что .

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);
2. ;
3. ;
4. .

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда

или

Теорема: В ортонормированном базисе

или

{если  базис левый, то перед одной из частей каждого равенства следует поставить знак минус}.

Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:

1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены два заданных вектора.
2. Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. В ортонормированном базисе

.

В планиметрии  векторное произведение не определено. Но ничто не мешает считать, что изучаемая  плоскость помещена в пространство и третий базисный вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой

.

Глава 8. Смешанное произведение 

Определение: число называется смешанным произведением векторов , и .

Смешанное произведение векторов , и обозначается или .

Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.

Пример: Если - ортонормированный базис, то или , смотря по тому, правый это базис или левый.

Теорема: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;
2. ;
3. .

Пусть в некотором базисе векторы , , , тогда

или

В частности, в ортонормированном базисе

{если  базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак минус}.

Следствие: Условие

является  необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе 
 
 
 

Литература 

• Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М, Наука, 1968, 912 с.
• Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М, Высшая школа, 1967, 655 с.
• Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М, Наука, 1971, 328 с.