Уравнение Лапласа и гармонические функции

УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА  И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Основные понятия

Мы начнем с  самого простого и важного из эллиптических уравнений, а именно с уравнения Лапласа. Это уравнение имеет вид

- ∆u = f(x)

Здесь f(x) — заданная функция. Если f(x)≠0, то уравнение (1) называется неоднородным уравнением Лапласа. При f(x) = 0 имеем однородное уравнение Лапласа

∆u = 0

Неоднородное  уравнение Лапласа часто называют уравнением Пуассона.

В более подробной  записи уравнения Лапласа — неоднородное и однородное — выглядят так:

и соответственно

Рассмотрим некоторую  замкнутую поверхность Г, не обязательно  связную» и пусть Г ограничивает область Ω, конечную (рис. 1) или бесконечную  (рис.2) В обоих случаях предполагается» что сама поверхность Г конечна. Будемизучать поведение решений однородного уравнения Лапласа в подобных областях.

     Функция и (х) называется гармонической в конечной области Ω, если она в этой области дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет однородному уравнению Лапласа.

Будем говорить, что функция и(х) гармоническая в бесконечной области Ω, если в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии or начала, u(x) дважды непрерывно дифференцируема, удовлетворяйi однородному уравнению   Лапласа   и   па  бесконечности   имеет   порядок

,так что для достаточно  больших |х| имеет место неравенство

где т— размерность пространства, а С — некоторая постоянная. В случае двумерной области (т = 2) условие (3) означает, что гармоническая в бесконечной области функция ограничена на бесконечности.

Подчеркнем, что  определение гармонической функции  относится только к случаю открытой области (т. е. открытого связного множества); если говорят о функции, гармонической в замкнутой области, то под этим понимают, что данная функция гармонична в более широкой открытой области.

Заметим еще, что  определение гармонической функции  не накладывает никаких ограничений  на поведение функции на границе  области.

Пример 1: Если Ω — бесконечная область, то функция и (х) = 1 гармоническая только при т = 2. Если m > 2, то в бесконечной области эта функции негармонична. Однако она гармонична в любой конечной области при любом т.

Пример 2. В двумерной  плоскости функция 

где z = х+iу, гармонична в любой области, которая не содержит начала координат.

Пример 3. Функция z=x+iy, гармонична в круге | z | < R (R — любое положительное число), разрезанном вдоль какого-либо из его радиусов.

Пример 4. Функция двух переменных и = х²+ у² не является гармонической ни в какой области, так как она не удовлетворяет однородному уравнению Лапласа

∆(x²+y²) = 4 ≠ 0.

Пример 5. Функция  u = x² - y² гармонична в любой конечной области.

На двумерной  плоскости конформное преобразование не меняет однородного уравнения Лапласа. В случае любого т это не так, но все же существует преобразование, которое переводит любую гармоническую функцию в гармоническую же. Это пре образование Кельвина, которое переводит точку

х (х_и х₂, ... , х_т) в точку х’ (х’_и х’₂, ... , х’_т), симметричную с точкой х относительно сферы данного радиуса R с центром в начале координат, а дан ную функцию и (х) переводит в функцию

Напомним, что точки  х и х' называются симметричными относительно названной выше сферы, если они лежат на одном луче, исходящем из начала, и если | х | • | х'| = R². Декартовы координаты симметричных точек связаны соотношением

Простой, хотя и довольно громоздкий подсчет приводит к соотношению

поэтому если то .