Тригонометрические функции

Тригонометрические функции.

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

• синус (sin x)
• косинус (cos x)

производные тригонометрические функции

• тангенс (tg x)
• котангенс (ctg x)

Градусная мера ула.

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами.  
При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота.  
Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат.  
Пусть одна сторона угла с вершиной в начале координат O идет по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс.  
Из геометрии известно, что отношение длины дуги l , на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла: =lR.

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой.  
Говорят, что угол равен определенному числу радиан.  
Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу.  
В самом деле: =RR=1 радиан. Обозначение радиана – «рад».  
Так как длина всей окружности радиуса R равна 2 R , то всей окружности соответствует угол =R2 R=2 радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует 2 360 = 180 градусов:  
1рад= 180 57 17 . И наоборот, 1 = 180рад.

Значит, можно написать следующие формулы перехода:

 от градусного  измерения к радианному:  
= 180 рад 

 и от радианного  измерения к градусному:  
= 180  .

 

Радианная окружность..

Радиа́н — основная единица измерения плоских углов в современной математике и физике. Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Таким образом, величина полного угла равна 2π радиан. Радианная и градусная мера связаны зависимостью 180градусов = п радиан.

 

Свойства тригонометрических функций  и их графики.

Функция синус 

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная. Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.   График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z. sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

 

Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.   График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. cos x = 0 при cos x > 0 для всех cos x < 0 для всех Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

 

Функция тангенс

Область определения  функции — множество всех действительных чисел, кроме Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения.   График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения. tg x = 0 при tg x > 0 для всех tg x < 0 для всех Функция возрастает на промежутках:

 

Функция котангенс

Область определения  функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.   График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения. ctg x = 0 при ctg x > 0 для всех ctg x < 0 для всех Функция убывает на каждом из промежутков

 Единичная окружность.

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

 

Тригонометрические формулы.

Основные тригонометрические функции

Тригонометрические  функции суммы и разности углов

Тригонометрические  функции двойного и тройного аргументов

Формулы понижения степени

Тригонометрические  функции половинного аргумента

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций  в сумму

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций  в произведение

Формулы, выражающие через

 
     Знаки тригонометрических функций