4

3.     ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Точечной оценкой называется определение характеристик одним числом. Для точечных оценок используются математические выражения, к которым предъявляются следующие требования:

1. Оценка должна быть состоятельной, т. е. при увеличении числа испытаний её значение приближается к истинному значению характеристики.

при ,(6   3.1)

2. Оценка должна быть несмещенной, т.е. математическое ожидание от оценки равно числовой характеристике

, (7    3.2)

3. Оценка должна быть эффективной, т.е. при увеличении n дисперсия стремится к минимуму

, при ,   (8   3.3)

Рассмотрим числовые характеристики положения:

1. Математическое ожидание показывает, где на оси сосредоточены значения случайной величины. Оценкой математического ожидания является среднеарифметическое.

,        (9    3.4)            ,    (10     3.5)

где Хi- значение случайной величины при i испытаниях; Рi-частота появления значения Хi;

2.  Мода- это значение случайной величины, которому соответствует максимум частоты (М0).

Рис. 3.1. Полигон для случайной дискретной величины

Кривая моды – полигон для дискретной величины М01 и М02 – максимумы, т.к. с двух сторон меньшие значения.

3. Медиана – это значение случайной величины, которая делит площадь под кривой распределения на две равные части (Ме)

,        (11   3.6)

Формула (11)- вероятность того, что случайная величина будет меньше. Ме равна вероятности того, что случайная величина будет больше Ме.

  Рис.3.2 Медиана

4. Моменты

А) dS-начальный момент s порядка - среднеарифметическое 

,                      (12   3.7)

если s=1, то  начальный момент первого порядка.

Б) Центральный момент s- порядка (МS)-

,             (13   3.8)

Среднеарифметическое центрированной величины  порядка

М1=0,

М3 входит в состав коэффициента скошенности, или асимметрии ,      (14   3.9)

где Sк - коэффициент скошенности;  ,    (15 3.10)      ,   (16   3.11)

Ех - эксцесс, характеризует остроту или плосковершинность кривой.

Для нормального закона Ех=0,т.к. М4/σ4=3 .

Рис. 3.3. Коэффициент скошенности

По закону Ех определяют, какую форму имеет кривая

Рис.3.4. Определение формы кривой по знаку Ех

Такие в статистике используются различные виды средних величин. Самый распространенный вид средней величины - среднее арифметическое. В общем случае её вычисления сводится к суммированию всех значений признака к делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности.

.

Дисперсия – средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической

.                             (17   3.12)

Среднее квадратичное отклонение характеризует абсолютную колебленность значений варьирующего признака. Выражается как корень квадратный из дисперсии.

.                                     (18   3.13)

Наряду с медианой применяют и другие значения вариантов. К ним относятся квартили, которые делят ряд по сумме частей на четыре равные части.

Квартилей насчитывается три:

         нижний (первый) квартиль;

         второй квартиль – медиана;

         верхний (третий) квартиль.

Рассчитаем числовые характеристики положения параметра х2 “вручную”, а характеристики у и eps с помощью ЭВМ. Все значения приведены в табл. 3.1.

1.  Математическое ожидание  .   .

2. Дисперсия ;    

.                                                                   

Таблица 3.2

Итоговая статистика для Х2

Таблица 3.3

Итоговая статистика параметров  х2, у, eps

Выводы к разделу 3. Определены точечные оценки для названных параметров:   х2, у, eps