Теория вероятности

Теория вероятности

1   Шести томное собрание сочинений Н.В.Гоголя поместили на полку в случайном порядке . какова вероятность того, что тома стоят в порядке возрастания номеров?   мое решение:   Число равновозможных несовместных исходов n=P6 =6!=720   Событию А благоприятствуют m=1 исходов.   Следовательно, P(A)=1/720=0,001

14:36:43

 

21 Вероятность поражения земляники вирусным заболеванием равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

X	0	1	2	3	4
P	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

;

.

 

2  Математическая статистика

 

 

 

 

Корреляционная таблица:

Y / X	4	9	14	19	24	29
10	2	3	0	0	0	0
20	0	7	3	0	0	0
30	0	0	2	50	2	0
40	0	0	1	10	6	0
50	0	0	0	4	7	3

 
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид: 
 
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид: 
 
Найдем необходимые числовые характеристики. 
Выборочные средние: 
 
= (4*2 + 9(3 + 7) + 14(3 + 2 + 1) + 19(50 + 10 + 4) + 24(2 + 6 + 7) + 29*3)/100 = 18.45 
 
= (10(2 + 3) + 20(7 + 3) + 30(2 + 50 + 2) + 40(1 + 10 + 6) + 50(4 + 7 + 3))/100 = 32.5 
Дисперсии: 
σ2x = (42*2 + 92(3 + 7) + 142(3 + 2 + 1) + 192(50 + 10 + 4) + 242(2 + 6 + 7) + 292*3)/100 - 18.452 = 22.45 
σ2y = (102(2 + 3) + 202(7 + 3) + 302(2 + 50 + 2) + 402(1 + 10 + 6) + 502(4 + 7 + 3))/100 - 32.52= 96.75 
Откуда получаем среднеквадратические отклонения: 
σx = 4.74 и σy = 9.84 
и ковариация: 
Cov(x,y) = (4•10•2 + 9•10•3 + 9•20•7 + 14•20•3 + 14•30•2 + 19•30•50 + 24•30•2 + 14•40•1 + 19•40•10 + 24•40•6 + 19•50•4 + 24•50•7 + 29•50•3)/100 - 18.45 • 32.5 = 37.38 
Определим коэффициент корреляции: 
 
 
Запишем уравнения линий регрессии y(x): 
 
и вычисляя, получаем: 
yx = 1.66 x + 1.79 
Запишем уравнения линий регрессии x(y): 
 
и вычисляя, получаем: 
xy = 0.39 y + 5.9 
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (18.45; 32.5) и точки расположены близко к линиям регрессии. 
Значимость коэффициента корреляции. 
 
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим tкрит: 
tкрит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984 
где m = 1 - количество объясняющих переменных. 
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). 
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим. 
2) F-статистика. Критерий Фишера. 
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму: 
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α. 
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия: 
 
 
где m=1 для парной регрессии. 
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2. 
Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01. 
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. 
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом. 
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=98, Fтабл = 3.92 
Отметим значения на числовой оси.

Принятие H0	Отклонение H0, принятие H1
95%	5%
3.92	176.54

 
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Поле корреляции (пример построения в Excel) 
Y = 1.6647x + 1.786 и X = 0.3862y + 5.899