Теория вероятностей

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО Уральский государственный  экономический университет

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  Теории вероятностей 

 

 

 

 

 

 

Преподаватель Новокрещенов С.А.

 

 

 

 

 

 

 

г. Советский

2013г

 

 

Вариант № 2

Оглавление:

 

1. Контрольная работа № 1……………………………………….2
2. Контрольная работа № 2……………………………………….6
3. Список литературы……………………………………………..11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 1

Задание № 1: Имеется две урны. В первой урне a белых и в чёрных шаров, во второй урне с белых и d чёрных шаров. Из каждой урны вынимают по одному шару. Какова вероятность, что они будут белыми?

Решение

В первой урне (a+b) шаров,

во второй урне (c+d) шаров.

Вероятность вынуть белый шар из первой урны равна ,

вероятность вынуть белый шар из второй урны .

Т.к. оба события независимы и  происходят одновременно, то вероятность  их одновременного появления равна  .

=

 

Задание № 2: 12 рабочих получили путёвки в 4 дома отдыха. Трое – в первый дом отдыха, трое – во второй дом отдыха, двое – в третий дом отдыха и четверо – в четвёртый дом отдыха.

Найти вероятность  того, что данные двое рабочих попадут  в один дом отдыха.

Решение

Назовем рабочих соответственно 1-ый и 2-ой.

Найдем вероятности получения  путевок в первый, второй, третий и четвертый дома отдыха каждым рабочим.

Для первого рабочего вероятность  получить путевку в первый дом  отдыха равна 

Тогда для второго рабочего эта вероятность равна при условии, что первый рабочий получил путевку в первый дом отдыха.

Для второго дома отдыха , .

Для 3-его дома отдыха , .

Для 4-ого дома отдыха , .

Пусть А – событие, состоящее  в том, что рабочие получили путевки  в один и тот же дом отдыха. По теореме умножения и сложения вероятностей, получим

 

Задание № 3: В денежно – вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрёл 2 билета. Найти вероятность, что он

1) выиграет хотя бы  по одному билету;

2) выиграет по одному  билету – деньги, а по другому  – вещи.

Решение 

На 1000 билетов приходится 24+10=34 (выигрыша)

Найдём вероятность приобретения «счастливого» билета или

вероятность выигрыша

λ=0,034*1000=34

2) Вероятность выиграть деньги  по одному билету  ,

вероятность выиграть вещи ,

тогда λ1=0,024*1000=24, λ2=0,01*1000=10.

Тогда     -вероятность выиграть деньги, купив один билет.

   -вероятность выиграть деньги, купив 1 билет.

Тогда вероятность события A «Выиграть  по 1 билету деньги, а по другому вещи»  равна

 

Задание № 4: В сборочный цех завода поступают детали с трёх автоматов. Первый автомат даёт 3% брака, второй – 1%, третий – 2%. Определить постоянность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило 500 деталей с 1  автомата, 200 деталей со второго автомата, 300 деталей с третьего автомата.

Решение

Рассмотрим гипотезы.

На сборку поступила деталь, изготовленная  первым автоматом – Н1.

На сборку поступила деталь со второго  автомата – Н2.

На сборку поступила деталь с  третьего автомата – Н3.

Найдем вероятность гипотез.

Всего в цех поступило 500+200+300=1000 (деталей).

Тогда

Пусть А – событие, состоящее  в том, что на сборку попала бракованная  деталь. Условные вероятности соответственно равны  , , .

Тогда по формуле полной вероятности

.

Ответ: P = 0,023

 

Задание № 5: В специализированную больницу поступают в среднем 70% больных с заболеванием К, а остальные с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.8, болезни М – 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность того, что он болел болезнью К.

Решение

Найдем долю больных заболеванием М

100%-70%=30%.

Найдем вероятность того, что  больной выздоровеет – событие  А – по формуле полной вероятности  .

Вероятность того, что больной болел болезнью К найдем по формуле Байеса

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

Задание № 1: Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар.  Случайная  величина Х – число очков на нем.

Решение

1 шар – 2 очка; 2 шар – 4 очка; 3 шар – 5 очков; 4 шар – 5 очков.

Х –число очков на вынутом шаре.

Всего 4 шара. С числом очков 2 и 4 – по одному шару. С числом очков 5 – два шара. Тогда получим:

Х	2	4	5
р

 

 

Найдем математическое ожидание:

М(Х)= .

Найдем дисперсию:

D(X)= М(Х²)-(М(Х)²)

Если  М(Х²)=

Тогда:

D(X)= М(Х²)-(М(Х)²)=17,5 – 4²=17,5 – 16=1,5.

Найдем среднеквадратическое отклонение:

s_х= .

Ответ:

Х	2	4	5
р

 

М(Х)= ;   D(X)=1,5;  s_х= .

 

Задание № 2: Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию. А также вероятность попадания случайной величины в интервал (a,b). Построить графики функций f(X), F(X).

Решение

1. Плотность распределения:

f(X)=F’(X)=

 
f(X)=

2. Математическое ожидание:

М(Х)=

3. Дисперсия:

D(X)= М(Х²)-(М(Х)²)

М(Х²)=

D(X)= М(Х²)-(М(Х)²)=

4. Р(0.5≤х≤1,5)=F(1,5) – F(0,5)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим графики: 

f(X)

 

 

 

 

   1,5

 

   0,5

                           1                           2                                                       X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(X)

 

 

 

 

1

 

 

                   1                                 2                                                   X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. А.Д. Манита. «Теория вероятности и математическая статистика», 2009
2. В.Е. Гмурман Учебное пособие «Теория вероятности и математическая статистика», Москва. 2003