Сумма углов треугольника

 

Исследовательская работа

«Сумма углов треугольника»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

Актуальность

  Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур. 
Изучению треугольника мы уделяли больше всего внимания в 5,6 и в 7 классе. 
Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни (строительстве и земледелии), любой многоугольник можно диагоналями разделить на треугольники. 
Хотя треугольник и самый простой по виду из многоугольников, но по количеству свойств он опережает многие более сложные фигуры:

•   Признаки равенства треугольников;
• Виды треугольников;
• Новые элементы треугольника — биссектриса, медиана и высота.

 
  Мы умеем строить треугольники, умеем их сравнивать, знаем названия его элементов, но, к сожалению, мы пока не умеем находить элементы треугольников: стороны и углы. Наша цель – научиться это делать.  
Умение находить  углы треугольника пригодятся в следующих классах и даже при сдаче ЕГЭ.

Цель исследования: научным путем выдвинуть гипотезу о сумме углов треугольника и доказать её.

Задачи:

1. Узнать историю возникновения теоремы;
2. С помощью программы «Живая математика» провести измерения суммы углов треугольника, выдвинуть гипотезу;
3. Рассмотреть различные способы доказательства теоремы;
4. Составить задачи на применение теоремы по готовым чертежам.

 

История открытия теоремы

Греческий мудрец Фалес из Милета за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды.  
    Он воспользовался тенью. Как говорит придание, Фалес избрал день и час, когда длинна собственной его тени равнялась его росту , в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отображенной  
его тени. 

Задача греческого мудреца кажется сейчас нам очень простой, но надо помнить, что было это еще за 300 лет до жизни Евклида, который написал книгу по которой обучаются геометрии до сих пор.  
     

            Чтобы измерить высоту пирамиды по ее тени, надо было знать некоторые геометрические свойства треугольника :  
1)Углы при основании равнобедренного треугольника равны и стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собой.  
2)Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам (180градусов)  
     

Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, центр ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник.  
(Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды ; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.)

• Свойство суммы углов треугольника было  установлено эмпирически, то  есть опытным путем, еще в  Древнем Египте. Однако дошедшие до нас сведения об его доказательствах относятся к более позднему времени.
• Древнегреческий ученый Прокл (410 – 485 г.г. н.э.) утверждает,  что согласно Евдему Родосскому,  это доказательство было открыто еще пифагорейцами в 5 веке до нашей эры.
• Древнегреческий ученый Прокл (410 – 485 г.г. н.э.) утверждает,  что согласно Евдему Родосскому,  это доказательство было открыто еще пифагорейцами в 5 веке до нашей эры.

А в книге «Начала» Евклида излагается доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять с помощью чертежа:

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Евклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.

Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах ( буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».

Попробуем открыть истину сами.

 

Измерение суммы углов треугольника

С помощью программы «Живая математика» проведем 60 экспериментов измерения различных треугольников и сделаем вывод.

№	А	В	С	сумма	среднее
	остроугольные треугольники
1	69	56	57	182
2	70	55	58	183
3	29	83	67	179
4	45	48	82	175
5	48	49	77	174
6	42	65	88	195
7	68	45	79	192
8	56	49	73	178
9	66	60	64	190
10	58	72	58	188
11	48	51	89	188
12	39	89	54	182
13	59	60	60	179
14	72	63	43	178
15	79	51	57	187
16	64	83	34	181
17	58	76	53	187
18	59	66	52	177
19	68	38	63	169
20	43	77	53	173
				3637	181

 

 

	прямоугольные треугольники
1	90	69		19			178
2	90	70		20			180
3	90	29		61			180
4	90	45		43			178
5	90	48		41			179
6	90	42		47			179
7	90	68		22			180
8	90	56		33			179
9	90	66		27			183
10	90	58		32			180
11	90	48		41			179
12	90	39		48			177
13	90	59		31			180
14	90	72		22			184
15	90	79		19			188
16	90	64		23			177
17	90	58		30			178
18	90	59		31			180
19	90	68		18			176
20	90	43		44			177
							3592	179
	тупоугольные треугольники
1	92		19		70	181
2	97		20		61	178
3	101		61		19	181
4	109		43		27	179
5	116		41		21	178
6	123		47		8	178
7	135		22		22	179
8	141		33		13	187
9	148		27		10	185
10	151		11		18	180
11	157		12		15	184
12	110		48		30	188
13	110		31		37	178
14	119		22		34	175
15	130		19		30	179
16	130		23		28	181
17	145		30		11	186
18	146		31		9	186
19	120		18		45	183
20	120		44		18	182
						3628		181

 

Вывод: Мы пока не можем утверждать, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°.

1.   Нельзя выполнить ни абсолютно точных построений, ни произвести абсолютно точного измерения, даже на компьютере.
2. Утверждение, что сумма углов треугольника равна 180°, относится только к рассмотренным нами треугольникам. Мы ничего не можем сказать о других треугольниках, так как их углы мы не измеряли.

 
 Правильнее было бы сказать: рассмотренные нами треугольники  имеют сумму углов приблизительно  равную 180°. Чтобы убедиться в  том, что сумма углов треугольника  точно равна 180° и при том  для любых треугольников, нам надо еще провести соответствующие рассуждения, то есть доказать справедливость утверждения, подсказанного нам опытом.

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

 

Сумма углов треугольника равна 1800.

 

Построение чертежа и краткая запись теоремы.

 

Дано: Треугольник ABC. 
Доказать: 
டA + டB + டC = 180°.

 

 

План доказательства теоремы.

0. Через одну из вершин треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

1. Доказать равенство внутренних накрест лежащих углов.

2. Записать сумму внутренних односторонних углов и выразить их через углы треугольника.

Доказательство и его запись.

1. Проведем BD || АС (аксиома параллельных прямых).

2. ட3 = ட4 (так как это накрест лежащие углы при BD || АС и секущей ВС).

3. டА + டАВD = 180° (так как это односторонние углы при BD || АС и секущей АВ).

4. டА + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, что и требовалось доказать.

Подобные способы доказательства теоремы.

 

 

Решение задач

 по готовым чертежам.

Проверь себя:

1. Может ли в треугольнике быть:

а) два тупых угла,

b) тупой и прямой углы,

с) два прямых угла?

2. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.

3. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?

4. Можно ли измерить углы любого треугольника?

Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)

 

Заключение:

В результате работы мы встретили трудности:

1. Измерить точно углы треугольника очень сложно (особенно меньше 10 градусов), результаты измерений не точные, даже в 21 веке с помощью компьютерных технологий;
2. Все способы доказательства теоремы основаны на свойстве // прямых.

Несмотря на это, теорема широко применяется во всем курсе геометрии уже две тысячи лет.

 

 

Литература.

 

1.  Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии.

ru.wikipedia.org›Теорема о сумме углов треугольника  ;

2. Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними углами треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Доказательство.

 znanija.com›task/195530

3. Ответы@Mail.Ru: Вы, сможете доказать, что сумма углов в треугольнике...

Получится развернутый угол (180) равен сумме трех углов треугольника. Доказательство существенно опирается на то, что можно провести только одну параллельную прямую.

otvet.mail.ru›question/16175335 

4. 3surwiki.ru/wiki/images/9/9e/Урок-Сумма_углов_треугольника.doc

 

5. surwiki.ru›wiki…Урок-Сумма_углов_треугольника.doc 

 

Приложение 1.