Способы определения мгновенной скорости в спорте

I.Введение

Мгновенная скорость - предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени.

Средняя скорость потока - величина, полученная делением расхода воды, протекающей через  сечение, нормальное к направлению  течения потока, на площадь его  сечения.

Полезно отличать понятие средней скорости перемещения  от понятия средней скорости пути, равной отношению пройденного точкой пути ко времени, за которое этот путь был пройден. В отличие от скорости перемещения, средняя скорость пути — скаляр.

Когда говорят  о средней скорости , для различения, скорость согласно выше приведённому определению называют мгновенной скоростью. Так, хотя мгновенная скорость бегуна, кружащего по стадиону, в каждый момент времени отлична от нуля, его средняя скорость (перемещения) от старта до финиша оказывается равной нулю, если точки старта и финиша совпадают. Заметим, что при этом, средняя путевая скорость остаётся отличной от нуля.

II. Отличие мгновенной скорости от средней.

Я напомню, что  для изучения научного метода нам  нужны хорошие и легко проверяемые  примеры. Понять научный метод, прямо  в процессе его применения к какой-то нужной нам на практике прикладной задаче, будет трудно. По этой причине  мы и изучаем научный метод  на примере физических задач.

Впоследствии  мы увидим, что математические модели, имеющие физически ясный смысл  скорости, пути и времени, подходят для описания любых взаимосвязанных  изменяющихся величин. И если применение научного метода в какой-то прикладной области должно привести к конкретным результатам в виде чисел, а не к абстрактным предположениям, то обойтись без этих стандартных математических моделей, которые, в частности, связывают  скорость, путь и время, невозможно.

Благодаря тому, что мы уже узнали про измерение  физических величин и аппроксимацию  их изменений, понимание средней  скорости не вызовет у нас совсем никаких трудностей.

Рассмотрим тот  же график пути, на котором мы изучали  среднюю скорость.

На этом графике, путь S(В) равен 6 метрам и тело затрачивает  на это время ОВ=15 секунд.

Предположим, что  это двигался огромный железнодорожный  состав длиной в километр, а мы наблюдали  это движение издалека, смотря перпендикулярно  этому движению.

С большого удаления нам было бы трудно зарегистрировать даже сам факт движения, если бы пройденный путь был, скажем, размером в 1 миллиметр, не то что измерить его точно. Пусть  мы находится так далеко, что пройденный при этом движении путь, который  мы еще можем заметить, равен одному метру.  

Мы всегда на практике можем сделать таким  образом: взять длинный и прямой участок пути на ровной местности, поместить  на него состав и отойти так далеко, что вбитые через расстояние 1 метр колышки будут нам казаться расположенными очень близко друг от друга.

Я веду к тому, что расстояние в один метр для  состава в один километр для данной задачи будет являться физически  малым интервалом, подробности движения на расстоянии меньше метра мы даже и не увидим.

Затем, по секундомеру, мы можем отметить моменты времени, когда состав при этом движении пересекает каждый колышек и занести эти  результаты в таблицу соответствия пути и времени. На нашем графике  эти моменты происходят тогда, когда  линия графика пути пересекает каждое деление по вертикальной оси S.

Теперь, для каждого  участка пути этого движения размером в один метр, мы можем вычислить  среднюю скорость по выражению (3). Оказывается, что такая средняя скорость, которая  вычисляется на физически малых  интервалах пути, называется мгновенной скоростью или просто скоростью.

На большом  графике будет трудно нарисовать мгновенную скорость, поэтому рассмотрим отдельно первые два метра пути этого  графика в увеличенном масштабе.

Закрашенными  квадратами на жирной кривой линии  пути отмечены точки, когда тело проходило  путь кратный одному метру.

Тонкими прямыми  показаны углы, тангенс каждого из которых является мгновенной скоростью, которая является средней на физически  малом интервале.

Жирной пунктирной линией отмечен угол, тангенс которого равен средней скорости за путь в  два метра.

Рассмотрим некоторую  произвольно взятую в середине интервала  пути точку X. В этой точке можно  подсчитать среднюю скорость Vcp(), тонкой пунктирной линией показан угол, тангенс  которого равен средней скорости в этой точке.

Мгновенная скорость V( ) определена как средняя скорость на физически малом интервале, а  из свойства физической однородности такого интервала, на нем мы можем  доопределять неизвестный характер движения произвольным образом, а именно, считать движение равномерным. Из свойства равномерного движения известно, что  средняя скорость при таком движении постоянна и равна средней  скорости на этом физически малом  интервале, т.е. равна мгновенной скорости.

Заметим, что  эти скорости подсчитаны для разных интерваловt. Средняя Vcp( ) дляt = – 0; мгновенная V( ) для другогоt, для физически  малого интервала. Можно ли численно сравнить их между собой?

Они обе являются мерами изменения одной и той  же величины (пути) по отношению к  одной и той же единице другой величины (времени). Значит их сравнение  в этом смысле физически корректно, и можно сказать, на сколько одна скорость больше другой и, значит, на сколько изменение пути от одной скорости больше, чем от другой, но вот расположение этих путей различно и связь этих скоростей с пройденным в точке Х путем S() различна. Мгновенная скорость V(t) и пройденный за это время путь S(t) не связаны между собой с помощью выражения (3), а средняя Vcp(t) наоборот связана.

Таким образом, и средняя, и мгновенная скорости показывают изменение пути по отношению  к времени, но разного пути: мгновенная показывает изменение пути в некоторой  окрестности точки X, на интервале  вокруг этой точки, а средняя показывает общее изменение пути от момента  времени, принятого за начало отсчета.

Это отличие  средней и мгновенной скорости хорошо видно на этом графике в виде разного  наклона линий для угла соответствующего средней скорости Vcp() за t = – 0 и для  угла соответствующего средней скорости Vcp (за физически малый интервал) равной мгновенной V() за t = – 0, т.к. мы таким  образом определили мгновенную скорость.

Несмотря на то, что мгновенная скорость за t = – 0 может быть подсчитана в точке  как средняя на некотором интервале, ее значение в этой точке не связано  со значением пройденного пути за t = – 0 с помощью выражения (3).

В общем, на интервале  пути на графике размером в два  метра, из линий углов соответствующих  скоростям видно, что средняя  скорость Vcp(t) и мгновенная скорость V(t) не является постоянными, изменяется от времени, но не равны между собой Vcp(t) V(t)const.

Физический смысл  мгновенной скорости состоит в том, что это истинная скорость, с которой  движется тело на небольшом участке  пути, истинная скорость, с которой  при движении взаимодействует тело с какими-то окружающими его телами (например, сталкивается или движется рядом).

Средняя скорость тоже может изменяться от времени  и от физически малого интервала, но она не имеет такого физического  смысла, как мгновенная скорость и  не равна ей (Vcp(t) V(t)const).

Построим график скорости, значения мгновенной скорости получим по выражению (3) из графика  пути для каждого физически малого интервала.

Можно вспомнить, что на графике скорости площадь  прямоугольника под пунктирной линией соответствует пройденному для  этой средней скорости пути.

Мгновенная скорость является средней для физически  малого интервала, т.е. площадь под  каждым прямоугольником со сплошной линией соответствует пройденному  за физически малый интервал пути.

Общий пройденный путь равен сумме путей за физически  малые интервалы, сумма площадей под каждым прямоугольником со сплошной линией равна площади прямоугольника под пунктирной линией, т.к. путь был  пройден один и тот же.

Также еще раз  надо отметить, что расчет пути с  использованием мгновенной скорости абсолютно  точен, несмотря на то, что мы не знаем  характер изменения пути от времени  на физически малом интервале.

Во время движения мгновенная скорость может возрастать, уменьшатся за время пути, а средняя  скорость за весь путь не имеет об этом информации, для средней важен  только результат движения, поэтому, когда мы хотим изучить подробности  движения, мы используем мгновенную скорость.

III. Средняя и мгновенная скорости прямолинейного неравномерного движения

Движение, при  котором за равные промежутки времени  тело совершает неравные перемещения, называют неравномерным (или переменным). При переменном движении скорость тела с течением времени изменяется, поэтому  для характеристики такого движения введены понятия средней и  мгновенной скоростей.

Средней скоростью  переменного движения vcp называют векторную  величину, равную отношению перемещения  тела s к промежутку времени t, за который  было совершено это перемещение:

vcp=s/t. (1.5)

Средняя скорость характеризует переменное движение в течение только того промежутка времени, для которого эта скорость определена. Зная среднюю скорость за данный промежуток времени, можно  определить перемещение тела по формуле s=vср·t лишь за указанный промежуток времени. Найти положение движущегося  тела в любой момент времени с  помощью средней скорости, определяемой по формуле (1.5), нельзя.

Как указывалось  выше, когда тело движется по прямолинейной  траектории в одну сторону, модуль его  перемещения равен пройденному  телом пути, т.е. |s|=s. В таком случае среднюю скорость определяют по формуле v=s/t, откуда имеем 

s=vср·t. (1.6)

Мгновенной скоростью  переменного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времени (и следовательно, в данной точке траектории).

Выясним, каким  способом можно определить мгновенную скорость тела. Пусть тело (материальная точка) совершает прямолинейное  неравномерное движение. Определим  мгновенную скорость v этого тела в  произвольной точке С ее траектории (рис. 2).

Выделим маленький  участок Ds1 этой траектории, включающий в себя точку С. Этот участок тело проходит за промежуток времени Dt1. Разделив Ds1 на Dt1, найдем значение средней скорости vcp1 =Ds1/Dt1 на участке Ds1. Затем для промежутка времени Dt2<Dt1 определим среднюю  скорость vcp2 =Ds2/Dt2 на участке Ds2<Ds1. Затем  для промежутка времени Dt3<Dt2 определим  среднюю скорость vcp3 =Ds3/Dt3 на участке Ds3 и т.д. (участки траектории мы выбираем так, что точка С всегда находится  внутри рассматриваемого участка).

Очевидно, что  чем меньше промежуток времени Dt, тем  меньше длина участка Ds, проходимого  телом, и тем меньше значение средней  скорости vcp=Ds/Dt отличается от значения мгновенной скорости в точке С. Если промежуток времени Dt стремится к  нулю, длина участка пути Ds бесконечно уменьшается, а значение средней  скорости vcp на этом участке стремится  к значению мгновенной скорости в  точке С. Следовательно, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится  средняя скорость тела vcp, когда промежуток времени движения тела стремится  к нулю:

v=lim(Ds/Dt). (1.7)

Из курса математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к  нулю (если этот предел существует), представляет собой первую производную этой функции  по данному аргументу. Поэтому формулу (1.7) запишем в виде

v=(ds/dt)=s' (1.8)

где символы d/dt или штрих справа вверху у функции  обозначают производную этой функции. Следовательно, мгновенная скорость есть первая производная пути по времени.

Если аналитический  вид зависимости пути от времени  известен, с помощью правил дифференцирования  можно определить мгновенную скорость в любой момент времени. В векторной  форме 

v=(ds/dt)=s'.

IV. Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение

Такое прямолинейное  движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени  изменяется одинаково, называют равноускоренным  прямолинейным движением.

Быстроту изменения  скорости характеризуют величиной, обозначаемой а и называемой ускорением. Ускорением называют векторную величину, равную отношению изменения скорости тела v-v0 к промежутку времени t, в  течение которого это изменение  произошло:

a=(v-v0)/t. (1.9)

Здесь V0 - начальная  скорость тела, т. е. его мгновенная скорость в момент начала отсчета  времени; v - мгновенная скорость тела в  рассматриваемый момент времени.