Случайные величины, их виды

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛЕЧИНЫ  
ИХ ВИДЫ И ПРИМЕРЫ 

Выполнила:

студентка 4 курса 

Гандакова М.В. 

Преподаватель:

Афанасьева  О.В.

   
1.Случайные величины 
 

• Для получения  количественной характеристики вводится понятие случайной величины.
• Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории.
• Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
• Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
• Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

   
 
 
 
 
2.Дискретные случайные величины  

• Дискретные  случайные величины принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений. Они хорошо подходят для описания результатов измерений, связанных с подсчетом и выражаемых целыми числами. Примеры дискретных случайных величин: оценка, полученная на экзамене, число попаданий в мишень в серии из 10 выстрелов и т. п. Вероятность принятия дискретной случайной величиной каждого из возможных ее значений больше нуля. Эта вероятность может быть записана как

 

• где i =... −1, 0, 1 ...
• Здесь X — обозначение случайной величины; x_i — конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной; p_i — вероятности этих значений.
• Индекс i может в общем случае пробегать значения от −∞ до∞ .

Функция , связывающая значения дискретной случайной величины с их вероятностями, называется ее распределением (законом распределения). Обычно закон распределения записывается в виде таблицы вида   

•  

 

• Пример. Пусть Х – число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

 
 

• Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала.
• Примеры непрерывных случайных величин: спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др.
• Поскольку число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико и чаще всего нет оснований предположить, что одни значения появляются существенно чаще других, то вероятность принятия непрерывной случайной величиной каждого отдельного значения оказывается равной нулю. По этой причине нельзя описать распределение непрерывной случайной величины в виде вероятностей ее отдельных значений, как в случае дискретных случайных величин. Здесь необходимы другие подходы, которые рассмотрены в разделах 3 и 4.

3. Функция распределения  
 

• Рассмотрим  вероятность того, что случайная  величина X окажется меньше или равной некоторому заданному числу х, т. е.
• .                                                             (3.1)
• Эта вероятность, рассматриваемая как функция переменной х, называется функцией распределения случайной величины X. Она используется для записи распределений как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины будет непрерывной функцией (рис. 4.8). Как было сказано ранее, вероятность принятия непрерывной случайной величиной какого-либо конкретного значения равна 0. Для непрерывной случайной величины обычно интересует вероятность попадания ее в заданный интервал , которая по известной функции распределения находится как
•                                                                (3.2)

• В этом выражении  совершенно не обязательно записывать интервал таким образом. Можно было бы записать , или , при этом вероятность  попадания случайной величины в  интервал не изменится. Это связано  с тем, что, как уже отмечалось, функция распределения случайной  непрерывной величины не имеет скачков  ни при каких значениях х.
• Свойства функции распределения совпадает со свойствами эмпирической функции распределения
• 1. F(x) неубывающая функция.

 

• 2.

 
 

• 3.

• График функция  распределения представляет собой  теоретический аналог полигона накопленных  частот.

 
 
 
 
 
 
 

• Рис. .1. Функция распределения непрерывной случайной величины

 
 
 

Рис. 1. Функция  распределения непрерывной случайной  величины 

Рис. 1. Функция  распределения непрерывной случайной  величины

• Для непрерывных  случайных величин вводится понятие  плотность распределения вероятностей, или “плотность вероятностей”, играющее исключительно важную роль при их описании.
• Плотность вероятностей — это производная от функции распределения непрерывной случайной величины, т.е.                           

 

•                                                            (4.1)

 
 

   
 
 
4. Плотность распределения вероятностей  

• Типичный  вид графика плотности вероятностей показан на рис. 2.
• Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал между значениями х₁ и х₂ пропорциональная площади под кривой плотности вероятностей, заключенной между точками х₁ и х₂. Эта вероятность математически записывается в виде интеграла от f(x) в пределах х₁ и х₂.
• .                                                             

                                                                         (4.2) 

• Свойства

    1.

    2.                при

    3.                при

    4. 
 
 
 
 

 Рис. 2. Вид графика плотности распределения вероятностей