Шпора по математике 4 семестр

Теорема произвед двух соб=произвед вероятностей одного из них на условную вер-ть другого события. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) Предположение что 1 событ произошло Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)  Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В)

Теор. Умен. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)

Д-во: n- всех исходов, А-m исх, АВ-k исх

   m-A

{{****}******}

         k-AB

P(AB)=k/n-вер-тьсобыт  Р(В/A)=k/m  P(AB)=k/n*m/n  P(A)=m/n   P(AB)=k/m*m/n=P(A)*P(B/A)

 Теор. P(A1,A2,...An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An(A1...A_n-1)

событиями

1) сумма двух  событий А и В – это А+В(U), это значит происходит хотя бы одно событие. Суммой n событий называется событие , которое обозначает, что происходит хотя бы одно из этих событий.

2) произведением  событий А и В называется  событие АВ и заключается в  том, что события являются одновременными  и являются совместными. - все события появляются одновременно. 
 

БИЛЕТ№20Закон больших чисел в формуле Бернулли.

Рассматр. серия послед.независ.испытаний  Бернулли,в каждом из которых событие  А (успех) происходит с вероят-тью  р. Пусть произведено n независимых испытаний,событие А в котором произошло m раз, тогда m-частота, число появления успеха

m/n относит.частота

при неограниченном увеличении числа независимых опытов n относит.частота сходится по вероят-ти р появлен.события А.

Р([m/n]<E)>=1-pq/nE²                

Lim(P[m/n]<E)>=1

Частота m появления события А в n испытаниях Бернулли есть СВ, распредел. по биномиальному закону.

Ее числовые характеристики:  X=m

M(x)=M(m)=np,   D(x)=D(x)=npq

m/n=СВ распределена по биномиальному закону, числи m=const, значит

D(m/n)=1/n²    D(m)=npq/n² =pq/n        

M(m/n)=1/n     M(m)=np/n=p

Рассмотрим P([m/n-p]<E)>=1-D(x)/E² =1-pq/nE²

Lim P([m/n-p]<E)=1 

БИЛЕТ№21 Генеральная совокупность. Выборка.

Стат. сов-тью наз. любую сов-ть объектов, объединенных по какому-то признаку. Различают генер. И выборочную сов-ть.

Выборкой назыв. любая сов-ть случайно отобранных объектов.

Генер.сов-тью назыв. сов-ть из которой произведена выборка.

Объемом сов-ти назыв. число объектов этой сов-ти.

Выборка назыв.повторной если объект перед отбором следующего объекта возвращается в генер. сов-ть. Если не возвращается – выборка назыв. бесповторной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

БИЛЕТ№23 Оценка генеральных характеристик по выборке.

Рассмотрим повторную  выборку  значений генеральной совокупности X. При этом случайные величины будут независимыми. Пусть MX= α, DX = δ² генеральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оценок для α и δ рассмотрим среднюю арифметическую выборки и выборочную дисперсию .

Выясним свойства этих оценок: . Значит, является несмещённой оценкой для α. Т.к. по закону больших чисел при , то оценка является состоятельной. Можно доказать, что оценка является также эффективной, причём . Математическое ожидание выборочной дисперсии равно . Таким образом, оценка является смещённой. На практике, чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвестной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправленной несмещенной оценкой . Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оценка , так и являются состоятельными оценками для .Дисперсия , где N -- объем генеральной совокупности. Дисперсия в случае повторной выборки равна , а в случае бесповторной выборки , где . 
 
 
 
 
 
 

БИЛЕТ№18 Непрерывные случайные величины и их характеристики. Функции распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения.

Функцией  распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х: F (x) = p (X < x).                                                       

Свойства функции  распределения.

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.                                                                                                     Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.
2. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ > x₁. Это следует из того, что F(x₂) = p(X < x₂) = p(X < x₁) + p(x₁ ≤ X < x₂) ≥ F(x₁).
3. В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.
4. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:

  p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).

Справедливость  этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.