Шпаргалка по "Высшей математике"

15. Средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая - применяется тогда, когда имеются значения признака (х) и их кол-во (n). ФОРМУЛА

Средняя арифметическая взвешенная – применяется тогда, когда данные стат. наблюдения сгруппированы, и некоторые значения признака у отдельных единиц признака повторяются. ФОРМУЛА

 

16.Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, к-ые используются для упрощения ее решения (расчетов).

1. От уменьш. (увелич.) веса (f) каждого значения признака (х) в одинаковое число (с) значение сред. ариф. не изменится ФОРМУЛА
2. Если каждую варианту (х) разделить (умножить) на постоянное число (с), то сред.ариф. соответственно умен. (увел.) во столько же раз. ФОРМУЛА
3. Если из каждой варианты (х) вычесть (прибавить) постоянное число (с), то значение сред.ариф. соответственно  умен. (увел.) на это же число (с). ФОРМУЛА

 

20. Средняя гармоническая. 
применяется если известны значения признака (х) и (m`), к-ая представляет собой произведение вариант на частоты       m`=xf.

     а)простая – для не сгруппированных данных, т.е. когда веса (f) равны м/у собой. ФОРМУЛА

     б)взвешенная – применяется для сгруппированных данных, когда веса (f) разные. ФОРМУЛА

 

21. Средняя геометрическая.

используется для  определения среднего темпа изменения  какого-либо яв-ия, если известны темпы  изменения этого яв-ия внутри рассматриваемого периода.   n-число значений признака, х-темпы изменения яв-ия внутри рассматриваемого периода.

 

22. Средняя хронологическая.

Применяется для определения  среднего значения моментного ряда динамики с равными интервалами, к-ый формируется  из значений изучаемого яв-ия на определенный момент времени

 

23. Средняя из относительных  величин.

для ее вычисления используется либо сред. ариф. взвеш. либо сред. гармон. взвеш.

Правило: если в относит. велич. неизвестная нах-ся путём умножения, то средняя из этой относит. велич. нах-ся по формуле сред. ариф. взвеш. ФОРМУЛА

Правило:  если в относит. велич. неизвестная нах-ся путём  деления, то средняя из этой относит. велич. вычисляется по формуле сред. гармон. взвеш. ФОРМУЛА

 

24. Размах вариации. Среднее линейное отклонение.

Размах вариации показывает разность м/у max и min значениями признака по совокупности. R=X_max-X_min

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных отклонений всех значений признака от средней по совокупности: а) при равенстве весов (f) ФОРМУЛА

б)при неравенстве  весов (f) ФОРМУЛА

 

25.Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.

Среднее квадратичное отклонение показывает на сколько в среднем  все варианты отличаются в среднем  по совокупности: а) при равенстве  весов (f) ФОРМУЛА

б)при неравенстве  весов (f) ФОРМУЛА

Дисперсия представляет собой G²: а) при равенстве весов (f) ФОРМУЛА

б)при неравенстве  весов (f) ФОРМУЛА

G как абсолютная мера вариации непригодна для сравнения степени вариации у разных совокупностей либо одной и той же совокупности, но за различные периоды времени.

 

26. Коэффициент вариации и его  значения.

 V, представляет собой ФОРМУЛА

Служит так же и  показателем однородности совокупности, так при его величине не до 20% вариация считается незначительной, а совокупность качественно однородной; от 20-40% вариация – умеренной, совокупность – близкой  к однородной; свыше 40% вариация –  значительной, совокупность неоднородной.

 

27. Способы расчета дисперсии.

1) Обычный: а) при равенстве весов (f) ФОРМУЛА

                         б)при неравенстве весов (f) ФОРМУЛА

2) Способ моментов: G²=i²(m₂-m₁²) 

ФОРМУЛА           ФОРМУЛА

3) способ разности   ФОРМУЛА      ФОРМУЛА            ФОРМУЛА

 

28. Дисперсия альтернативного признака.

Альтернат. признак наз-ся такой, к-ым обладают одни единицы изучаемой  совокупности и не обладают другие.

Вариация альтернат. признака выражается единицей при его присутствии и нулем при его отсутствии, тогда если долю единиц обладающих изучаемым признаком обозначить Р, а долю единиц не обладающ. изучаемым признаком g, то дисперсия альтернатив. признака: G²=Pg

 

29. Ряды динамики: определение и  виды.

Р.Д. – ряды количественных изменений общ-ых яв-ий во времени. Y- ур-нь ряда динамики, t-время.

Р.Д. бывают:

1. интервальные, если  составляющие его числа выражают  размеры общ-ых яв-ий за определенные  промежутки времени.

2. моментный ряд, если  составляющие его числа приводятся  на определенную дату.

 

30. Аналитические показатели Р.Д.

1. Уровень ряда – первичное значение показателей, образующих Р.Д.

 У₁-начальный ур-нь Р.Д.

У₀-базисный ур-нь Р.Д.

У_n-конечный ур-нь Р.Д.

У-средний ур-нь Р.Д.

 2. Средний ур-нь Р.Д.

    а) для интервальных  рядов по формуле сред. арифмет.  Простой ФОРМУЛА

    б) для моментных  рядов

          - с разными интервалами (средн.  хронолог.) ФОРМУЛА

         - с неравными интервалами (средн.  арифмет. взвеш.) ФОРМУЛА

3. Абсолютный прирост - ∆У – показывает разность м/у 2-мя уровнями Р.Д.

    а) цепной-при переменной базе сравнения ∆У_ц = У_i – У_{i – 1}

    б) базисный 

           - за весь период  ∆У_б = У_n - У₀

                - за отдельный период  ∆У_б = У_i - У₀

4. Средний абсолютный прирост

    а) ч/р цепные абс. приросты , где n-число цепных абс. Приростов

    б) ч/р базисный абс. прирост ФОРМУЛА, где n-число ур-ней Р.Д.

5. Темп роста (К_р) – отношение одного ур-ня Р.Д. к другому принятому за базу сравнения.

    а) цепной темп роста – при переменной базе сравнения К_рц = У_i\ У_{i – 1}

    б) базисный темп роста

           - за весь период  К_рб = У_n /У₀

                - за отдельный период  К_рб = У_i /У₀

6. Средний темп роста (К_р)

   а) ч/р цепные темпы роста по фор-ле сред. геометрич.  К_Р =  , К1, К2 – цепные темпы роста.

   б) ч/р базисные темпы роста К_р =        К_р =

7. Темп прироста (К_пр) – отношение абс. прироста к ур-ню, принятому за базу сравнения.

    а) цепной  темп прироста       К_прц = У_i – У_{i – 1}/У_{i – 1} = У_i /У_{i – 1} – 1 = К_рц – 1 = К_рц – 100%

    б) базисный темп прироста К_прб = У_i - У₀ / У₀ = У_i /У₀ - 1 = К_рб – 1

8. Средний темп прироста       К_пр = К_р – 1 = К_р – 100%

9. Абсолютное значение 1% прироста (∆%) – отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в %.  ФОРМУЛА     т.е. абс. значение 1% прироста = 0,01 предыдущего ур-ня Р.Д.

 

31. Определение среднего темпа  роста и прироста.

Средний темп роста (К_р)

   а) ч/р цепные темпы роста по фор-ле сред. геометрич.  К_Р =  , К1, К2 – цепные темпы роста.

   б) ч/р базисные темпы роста К_р =        К_р =

Средний темп прироста       К_пр = К_р – 1 = К_р – 100%

 

32. Графическое изображение Р.Д.

1. На горизонтальной  оси ОХ располагают равные  отрезки представ. собой те или  иные даты (для моментных рядов)  или периоды времени (для интервальных  рядов).

2. По вертикальной  оси ОУ наносят избранный масштаб,  характеризующий единицы измерения  в которой даны стат. показатели.

3. Против отметки каждого  отрезка, характеризующего изучаемый  момент времени (для моментных  рядов) или периоды времени (для интервальных рядов) наносится точка на расстоянии равной величине показателя за данный период, после чего все нанесенные точки последовательно соединяются м/у собой, в результате чего образуется моментная кривая, называемая линейной диаграммой.

 

33. Анализ Р.Д. на основе аналитического  выравнивания.

Аналитическое выравнивание Р. Д. производится или по уравнению прямой (в предположении, что развитие явления идет в ариф. прогрессии), либо по уравнению кривой (в предположении, что развитие явления идет в геометр. прогрессии).

Выравнивание значения(У_t) рассчитывается  У_t = a₀ + a₁t  t-время, a₀, a₁ – параметры, численное знач., к-ых определяется на основе фактич. данных Р.Д. способом наименьших квадратов.

СИСТЕМА УРАВНЕНИЯ

Для упрощения решения  данной системы необходимо время (t) подобрать таким образом, чтобы сумма t = 0.

Аналитическое выравнивание позволяет в необходимых случаях произвести расчеты исследуемого показателя для таких периодов, в отношении которых нет сведений (за 2,5 года), такая операция называется ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Нахождение значений изучаемого признака за пределами рассматриваемого периода (за 6 лет) называется ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ, но при этом необходимо учитывать, что  расчетные показатели носят приблизительный  характер и могут быть использованы в условиях, когда развитие явления во времени существенно не изменяется.

 

34. Сопоставление Р.Д.

Для параллельного сопоставления 2-х и более Р.Д. их необходимо предварительно привести к одному основанию, это  дает возм-ть сравнивать м/у собой Р.Д. с различными ед.измерения, при этом, за основание ряда м.б. приняты :

1. Начальный ур-нь ряда (наиболее часто используется на практике)
2. Сред. Ур-нь ряда (при волнообразном изменении яв-ия)
3. Сумма всех ур-ней ряда (в случае интервальных рядов)

 

35. Понятие о стат. индексе и  их виды по степени охвата  явления.

Индекс – стат. индекс – это относительно обобщающий показатель сравнения общественно экономических  яв-ий.

Стат. индекс – представ. собой синтез относительных и  сред. величин. Формой выражения индексов явл-ся доли единиц или %.

Индивидуальный индекс (И.И.) показывает соотношение м/у единицами одной и той же совокупности.

1. И.И физ объема произ-ва. i_q = q₁/q₀
2. И.И. цен на бензин. i_p = p₁/p₀

Общие индексы (О.И.) –  характеризуют соотношение м/у единицами различным совокупностей непосредственно не  подлежащих суммированию, либо одной и той же совокупности за различные периоды времени.

О.И. стоимости объема произв-ва ФОРМУЛА

 

36.ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ О.И.

1. Необходимо общее изменение изучаемого яв-ия разделить на ряд частных изменений, отражающих влияние отдельных факторов.  I_pq = I_p * I_q

2. Построение каждого из полученных сомножителей (I_p , I_q) должно соответствовать:

А) если индексируемый  величиной явл-ся количественный показатель (физ. объем произ-ва, численность  работников, стоимость основных фондов), то их соизмерители (веса) принимаются  на ур-не базисного периода.

ФОРМУЛА

ОИ численности (Т), произв-ть труда (w) ФОРМУЛА

ОИ осн-ых фондов (ОФ), фонды отдачи (ФО) ФОРМУЛА

Б) если индексируемый величиной явл-ся качественный показатель (цена за единицу продукции, себестоимость, произв-ть труда, фондоотдачи), то их соизмерители (веса) принимаются на ур-не отчетного периода.

ФОРМУЛА

ОИ себестоимости  ед. продукции (z) ФОРМУЛА

ОИ произв-ти труда (w) ФОРМУЛА

ОИ фонды отдачи ФОРМУЛА

Суммы вида pq, tw, zq представляют собой определенный агрегат, т.е. сумму набора ед., что и определило название данной формы стат. Индекса, а именно агрегатный, к-ый яв-ся основной формой стат. Индекса

 

37. ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ ИНДЕКСЫ.  ИНДЕКСЫ С ПОСТОЯННЫМИ И ПЕРЕМЕННЫМИ  ВЕСАМИ.

При соотношении каждого  последующего периода с непосредственно  ему предшествующему  получаются ЦЕПНЫЕ ИНДЕКСЫ.

При соотношении всех периодов с одним принятым за базу получаются БАЗИСНЫЕ ИНДЕКСЫ.

Индексы с постоянными  весами, в кач-ве весов принимаются  данные какого-либо одного периода.

Индексы с переменными  весами, в кач-ве весов принимаются  данные разных периодов.

Для кол-ых показателей: а) ЦЕПНЫЕ   ФОРМУЛА

    б) БАЗИСНЫЕ ФОРМУЛА

для кач-ых показателей: ) ЦЕПНЫЕ   ФОРМУЛА

    б) БАЗИСНЫЕ ФОРМУЛА

 

 

38. ОБЩИЙ ИНДЕКС КАК СРЕДНИЙ  ИЗ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ.

Любой агрегатный индекс можно представить как средний  взвешенный  из индивидуальных индексов. При этом получается либо Средний  Арифметический Взвешенный (САВ)/СГВ

При преобразовании агрегатного  индекса в средний из индивидуальных, необходимо исходить из того, что в  данном индексе яв-ся фактич.реальной величиной, а что представляет собой  условную конструкцию

ФОРМУЛА

Таким образом, если в  агрегат.индексе реальн. Величиной  яв-ся числитель, то он преобразуется  в СГВ

 

ФОРМУЛА

если в агрегат.индексе  реальн. Величиной яв-ся знаменатель, то он преобразуется в САВ.

В САВ индексе в  кач-ве весов можно использовать не абсолютные объемы, а их удельные веса ФОРМУЛА