Шпаргалка по "Теории Вероятности"

1) свойство вероятности: 20 стр.

1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . .
2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. ,
3. Для любого события . , т.к. , то и следовательно .
4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:

   

   

5. (обобщенная  теорема сложения вероятностей)    .
6. (теорема сложения k слагаемых) Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то  .
7. Если (А влечет В), то . , тогда
8. Если , то . Тогда
9. . , .
10. Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то . Т.к. , то по свойству 6:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2)условная  вероятность, независимость:

Условной  вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение  , (реже ). .

Теорема (умножение вероятностей): .

Теорема (обобщенная теорема умножения).

      

3)формулы  полной вероятности   и Баеса: 23 стр.

Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события  А можно вычислить по формуле  полной вероятности:

, или  .

Так как  события образуют полную группу, то можно записать .

Событие А может произойти только с  одним из событий Hi, i {1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей

Замечание: при применении формулы полной вероятности  события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место  формула Байеса:

,

Замечание. При применении формулы Байеса вероятности  называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4)схема  независимых испытаний  Бернули. Полиномиальное  распределение: 

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые  мы называем успехом и неудачей.

, , p+q=1.

Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.

Последовательность n испытаний называется испытаниями  Бернулли, если эти испытания

независимы, а в каждом из них возможны два  исхода, причем вероятности этих исходов  не меняются от испытания к испытанию.

Элементарным  исходом будет являться:

(w1,w2,…,wn),  .

Всего таких исходов 2n.

(1)

Формула (1) показывает, что события независимы.

Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие .

По теореме  сложения получим

Таким образом, получим

—формула Бернулли.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,

P(Ei)=pi, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле:

где

Эта формула  полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5)случайные  велечины, функция  распределения и  её свойства.

Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.

Множество значений случайной величины обозначается Ωх. Одной из важных характеристик  случайной величины является функция  распределения случайной величины.

Функцией  распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность  того, что случайная величина Х  примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.

.

.

Если  рассматривать Х как случайную  точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в  результате реализации эксперимента попадет  левее точки х.

Свойства  функции распределения.

1.Функция  распределения F(x)–неубывающая функция,  т.е. для  таких что x1<x2  .

Пусть х1 и х2 принадлежат множеству  Ωх и х1<х2.Событие, состоящее в  том, что Х примет значение, меньшее, чем х2, т.е. , представим в виде объединения двух несовместимых событий

 

Тогда по теореме сложения вероятностей получим 

, т.е.

. Поскольку  , то .

2.Для  любых 

Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при  замене знаков ≤ и < на < и ≤.

3.

, . 

, .

4.Функция  F(x) непрерывна слева. (т.е.  ).

5. Вероятность  того, что значение случайной  величины Х больше некоторого  числа х, вычисляется по формуле.

.

Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. . Найдем их вероятности

.

Поскольку вероятность достоверного события  равна единице, то

.Отсюда . 

6)мат.  ожидание дискретной  случайной велечины  и его свойства (включая  теорему 1)

Математическим  ожиданием дискретной случайной  величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной  величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает  конечное число значений, то .

Если  случайная величина Х принимает  счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое  ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

1.Математическое  ожидание постоянной величины  равно самой постоянной

M(C)=C.

Будем рассматривать постоянную С как  дискретную случайную величину, которая  принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно,  .

Замечание. Произведение постоянной величины С  на дискретную случайную величину Х  определяется как дискретная случайная  величина СХ, возможные значения которой  равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности  возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.

2.множитель  можно выносить за знак математического  ожидания:

M(CX)=CM(X).

Если  случайная величин Х имеет  ряд распределения

Ряд распределения  случайной величины СХ

Математическое  ожидание случайной величины СХ .

Случайные величины X1,X2,…,Xn называются независимыми, если для любых числовых множеств B1,B2,…,Bn

3.Математическое  ожидание произведения двух независимых  случайных величин равно произведению  их математических ожиданий  

.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых  случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4.Математическое  ожидание суммы двух случайных  величин рано сумме математических  ожиданий слагаемых:

.

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме  математических ожиданий слагаемых.

Математическое  ожидание числа появлений события  А в n независимых испытаниях равно  произведению числа испытаний на вероятность появления события  в каждом испытании: .

Будем рассматривать в качестве случайной  величины Х число появлений события  А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события  А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в  отдельных испытаниях. Поэтому если Х1—число появлений события в  первом испытании, Х2—во втором,…, Хn—в n-ом, то общее число появлений  события  . По свойству 4:

.

Согласно  примеру 2 . Таким образом, получим . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7)дисперсия  дискретной случайной  велечины и её  свойства (включая  теорему2): 43 стр.

Дисперсией  случайной величины называется число  . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением случайной  величины Х называется число  .

Свойства  дисперсии.

1.Дисперсия  постоянной величины С равна  0. DC=0.

2.Постоянный  множитель можно выносить за  знак дисперсии, возводя его  в квадрат: .

.

3.Дисперсия  суммы двух независимых случайных  величин равна сумме дисперсий  этих величин: .

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых  случайных величин равна сумме  дисперсий этих величин.

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события  А в n независимых испытаниях, в  каждом из которых вероятность р  появления события постоянна, равна  произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления  события в одном испытании: .