Шпаргалка по "Математика"

Матрицы, основные понятия              

Матрицей  называется прямоугольная  таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i - номер строки матрицы, а j - номер столбца матрицы. У матрицы есть 2 диагонали. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ матрицы, а элементы стоящие на другой диагонали образуют вспомогательную диагональ матрицы. Матрица записывается ввиде: 

Матрицы. Действия над матрицами

Матрицы допускают следующие  алгебраические операции:

сложение  матриц, имеющих один и тот же размер;

умножение матриц подходящего  размера (количество строк одной матрицы  должно совпадать  с количеством  столбцов другой);

умножение матрицы на элемент  основного кольца или поля (т. н. скаляр).

Относительно  сложения матрицы  образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют векторное поле над соответствующим кольцом или полем. Для квадратных матриц матричное умножение является замкнутой операцией, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют кольцо относительно матричного сложения и матричного умножения. 
 

Определители. Основные понятия  и свойства.

Определи́тель — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равны)

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что  определитель матрицы  равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

Исходя  из первого свойства, в остальных свойствах  мы можем говорить только о строках, подразумевая, что  эти свойства применими также и к столбцам.

Свойство 2. Если одна из строк  определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое  число, то сам определитель умножится на это  число.

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Свойство 7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: aij=bj+cj, j = 1, ..., n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

Свойство 8. Если одна из строк  определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитеь равен нулю..

Свойство 9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк. 
 
 
 
 
 

Невыраженные  матрицы. Обратная матрица.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица  n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица B  называется обратной матрицей для квадратной матрицы A, если AB=BA=E        

Из  определения следует, что обратная матрица  B будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица A (иначе одно из произведений  AB или BA  было бы не определено).  

Обратная  матрица для матрицы  A обозначается  . Таким образом, если   существует, то  .

Из  определения обратной матрицы следует, что матрица  A является обратной для матрицы , то есть матрицы  A и   можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. 
 

Невыраженные  матрицы. Ранг матрицы.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица  n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица B  называется обратной матрицей для квадратной матрицы A, если AB=BA=E        

свойства  ранга матрицы:

1.  При транспонировании  матрицы ее ранг  не меняется.

2.  Если вычеркнуть  из матрицы нулевой  ряд, то ранг  матрицы не изменится.

3.  Ранг матрицы не  изменяется при  элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг  канонической матрицы  равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы. 
 
 

Система линейных уравнений. Теорема Кронекера  – Капелли

  Система линейных  алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. 
 

Решение невырожденных линейных систем по формулам Крамера

Основная  матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется  определителем системы. Если определитель системы  отличен от нуля, то система называется невырожденной. 
 

решение систем линейных  уравнений методом  Гаусса

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. 
 
 
 
 

Система линейный однородных уравнений

систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Если  однородная система  имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для  нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы  определитель матрицы системы был равен нулю. 
 
 

Векторы. Основные понятия  и действия над  векторами.

Вектором  наз. упорядоченная  совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение  на число: произведение  вектора А на  число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то АВ, l<0, то А¯В. в)l>1, то А<<span style="TEXT-DECORATION: underline">В, )l<1, то АВ.

2. Разделить вектор  на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой  неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а. 
 

Проекция вектора на ось. Действия над векторами, заданными проекциями

Свойство 1. Проекция вектора  a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла j  между вектором и осью, т. е. прla =|a |•cos j .

Следствие 5.1. Проекция вектора  на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось  равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и  ту же ось равна  сумме их проекций на эту ось 

Свойство 3. При умножении  вектора а на число А его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

Таким образом, линейные операции над векторами  приводят к соответствующим  линейным операциям  над проекциями этих векторов.

Действия  над векторами, заданными  проекциями

Пусть векторы а=(ax; ay; az) и b=( bx; by; bz) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое

а = ах •i + ау • j +аz • k,    b =bх • i + bу • j + bz • k.

Линейные  операции над векторами

Так как линейные операции над векторами  сводятся к соответствующим  линейным операциям  над проекциями этих векторов, то можно записать:

1.          а ± b = (ах ±bх)i + (ау ±by)j + ( az ± bz)k, или кратко а ± b = (ах ±bx; ay± by; az ± bz). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).

2.           l  а = l ах • i + l ау • j + l  az • k или короче l  а = (lах; lау; lаz). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр. 
 

Разложение  вектора по единичным  векторам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Вектор  называется единичным, если его абсолютная величина равная единице. Единичные векторы, которые имеют  направления положительные координатные полуось, называются координатными векторами или ортами.

Так как координатные векторы отличны  от нуля и не коллинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам:

Разложение  вектора по ортам  координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Вектор  ОА, начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначают r1(A) или просто r1. Так  как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид r1=x1 i+y1 j+z1 k

Вектор AB, имеющий начало в  точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2), может быть записан в виде AB=r2-r1 где

R2 - радиус-вектор точки В;

R1- радиус-вектор точки  А. 

Поэтому разложение вектора  по ортам имеет  вид AB=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

А=(а,б,с) |a|=корень из а в кв+б в кВ+с в кВ

А+-б=(а+б,а+б,а+б)

А||б ↔ а/б=а/б=а/б

Кос альфа=а(икс)/модуль а, кос бетта=а(у)/модуль а, кос гамма=а(з)/модуль а

Кос в кВ альфа+кос в кВ бета+ кос в кВ гамма=1

Е=(кос  а, кос б, кос г)

|e|=1

I=(1,0,0)|i|=1 j(010) k(001)

AB=(x-x y-y z-z)

X=xодин+k xдва/1+k (у,з аналог) 
 

Скалярное произведение векторов. Определения и свойства. Выражение скалярного произведения в координатах.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Если  векторы а и  b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

Если  же хотя бы один из векторов нулевой, то . Но если нулевой вектор ортогонален к любому другому, в том числе и нулевому же, то и этот случай не является исключением.

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат этих векторов. Скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию второго на направление первого.

Скалярное произведение ненулевых  векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда угол между ними равен 90. 1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор - нулевой. Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.