Схема полного исследования функции

СХЕМА  ПОЛНОГО  ИССЛЕДОВАНИЯ  ФУНКЦИИ

 

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать четность и периодичность функции.
3. Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты.
4. Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно).
5. Найти точки пересечения графика с осями координат.
6. Найти  .  Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.
7. Найти  .  Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости.
8. Построить  график функции.

 

 

ПРИМЕРЫ

 

ПРИМЕР 1. Провести полное исследование и построить график функции  . 

1) Область определения функции   ℝ .

2) Область определения  функции симметрична относительно  начала координат и

.

Следовательно, функция четная, и ее график симметричен относительно оси  .

3) Функция имеет две точки  разрыва:    и .  Определим тип разрывов:

,

.

Итак, точка    является точкой разрыва  II рода, прямая  – вертикальная асимптота графика функции.

Учитывая симметрию графика  функции относительно оси  ,  для точки   получаем:

     и     .

Следовательно, точка    тоже является точкой разрыва II рода, прямая  – вертикальная асимптота графика функции.

4) Функция определена при сколь  угодно больших   .  Следовательно, возможно существование наклонных асимптот.  При    имеем:

,

.

Следовательно, прямая  (т.е. прямая  )  является наклонной асимптотой правой части графика функции. Та же прямая    будет наклонной асимптотой и для левой части графика функции (так как график функции симметричен относительно оси ).

5) Найдем точки пересечения графика  с осями координат. Пересечение с осью  :

      ⇒   ,   ⇒   ,

 ⇒  

Пересечение с осью  :

      ⇒  

Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в начале координат  .

6) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:

,

⇒   а)

   при ;       б)     при .

Таким образом, критической точкой первого рода является только точка . 

Критическая точка    и точки разрыва   разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция возрастает на интервалах    и  , функция убывает на интервалах    и .  Точка – точка максимума. Максимум функции:

.

7) Найдем вторую производную  функции и критические точки второго рода. Имеем:

,

⇒   а)

   при ;       б)     при .

Таким образом, критических точек второго рода функция не имеет.  Значит, график функции не имеет точек перегиба. 

Точки разрыва   разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале  , график функции вогнутый на интервалах    и . 

8) На основании проведенного  исследования строим следующий  график:

ПРИМЕР 2. Провести полное исследование и построить график функции  . 

1) Область определения функции   ℝ.

2) Область определения  функции симметрична относительно  начала координат, но

,

⇒  

   и .

Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси    или начала координат.

3) Функция не имеет точек разрыва.  Следовательно, график функции не имеет вертикальных асимптот.

4) Функция определена  при сколь угодно больших   .  Следовательно, возможно существование наклонных асимптот.  При    имеем:

,

.

Следовательно, прямая  является наклонной асимптотой правой части графика функции. Та же прямая    будет наклонной асимптотой и для левой части графика функции, так как при вычислении    и   мы будем в точности повторять все действия, выполненные при вычислении    и .

5) Найдем точки пересечения графика  с осями координат. Пересечение с осью  :

      ⇒   ,   ⇒   ,

 ⇒      или .

Пересечение с осью  :

      ⇒   .

Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в начале координат  и пересекает ось еще и в точке .

6) Найдем производную функции  и критические точки первого  рода. Имеем:

,

⇒   а)

   при ;       б)     при   и .

Таким образом, критическими точками первого рода являются точки ,  ,  . 

Критические точки разбивают область  определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция возрастает на интервалах    и , функция убывает на интервале  .  Точка – точка максимума,  точка – точка минимума. Максимум функции и минимум функции:

,   .

7) Найдем вторую производную  функции и критические точки  второго рода. Имеем:

,

⇒   а)

   при ;       б)     при   и .

Таким образом, критическими точками  второго рода являются точки ,  . 

Критические точки разбивают область  определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале  , график функции вогнутый на интервале  .  Точка    – точка перегиба графика функции.

8) На основании проведенного  исследования строим следующий  график:

 

 

 

ПРИМЕР 3. Провести полное исследование и построить график функции  . 

1) Область определения функции   .

2) Область определения функции  не симметрична относительно  начала координат.  Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси    или начала координат.

3) Функция имеет две точки  разрыва:    и .  Определим тип разрывов:

  ,

.

Итак, точка    является точкой разрыва II рода, прямая – вертикальная асимптота графика функции.  Точка    является точкой разрыва первого рода. 

4) Функция определена при сколь  угодно больших положительных  .  Следовательно, возможно существование наклонной асимптоты для правой части графика.  Имеем:

,

.

Следовательно, прямая  (т.е. прямая  )  является наклонной асимптотой правой части графика функции.

5) График функции не пересекает оси координат, так как    (⇒ не пересечения с осью  )  и   (⇒  нет пересечения с осью  ).

6) Найдем производную функции  и критические точки первого рода. Имеем:

,

⇒   а)    при  ;      

       б)     при   и при .

Таким образом, критических точек первого рода функция не имеет.  Значит, функции не имеет экстремумов. 

Точка разрыва   разбивают область определения функции на две части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция убывает на интервалах  и .

7) Найдем вторую производную  функции и критические точки  второго рода. Имеем:

,

⇒   а)    при ;      

      б)     при    и при .

Таким образом, критической точкой второго рода является точка  . 

Критическая точка    и точка разрыва   разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале  , график функции вогнутый на интервалах    и .  Точка    – точка перегиба.

8) На основании проведенного  исследования строим следующий  график: