Ряды и двойные интегралы

Министерство  образования и науки РФ

ГОУ ВПО

«Тюменский  Государственный Университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

Вариант№1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                   

                                                                                                            Выполнил:                                                                                

                                                                                                           Кожурова И.А.                                                           
 
 
 
 
 
 
 
 

Тюмень 2011г.

Контрольная работа №1

«РЯДЫ И ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»

Вариант №1 

1. Исследовать на  сходимость числовой  ряд: 

Решение. К данному положительному ряду применяем признак Даламбера:

Значит, ряд расходится.

     Ответ: расходится  
 
 

2. Найти радиус и  интервал сходимости  степенного ряда: .

Решение. Найдем радиус сходимости степенного ряда.

Итак, R=1, следовательно, , т. е. - интервал сходимости степенного ряда.

Исследуем ряд на концах интервала сходимости:

при х=–3 получаем ряд , для которого применим признак сравнения в предельной форме (сравним с гармоническим расходящимся рядом ):

, следовательно, ряды ведут  себя одинаково, т. е. ряд  расходится;

при получаем - знакочередующийся ряд, для которого ряд из модулей расходится (см. выше) и выполняются условия признака Лейбница (члены ряда убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю при ), следовательно, этот ряд сходится условно.

     Ответ:  . 

3. Разложить в окрестности  точки  в степенной ряд функцию .

Решение. Преобразуем функцию: 

Теперь  воспользуемся известным разложением:

Заменяя х на , получаем:    .

Полученное  разложение верно при  , т. е. при .

                                    Ответ:    при . 
 
 

4. Вычислить интеграл  , где D – прямоугольник .

Решение. Переходим к повторному интегралу:

                                                      Ответ:  4. 
 
 

5. Вычислить интеграл , где D – область, ограниченная линиями .

Решение. Изобразив область D, получим треугольник, который можно задать системой неравенств:    Переходим к повторному интегралу:

                                                      Ответ: 0. 
 
 
 
 

Контрольная работа №2

«Дифференциальные уравнения»

Вариант №1 

1. Решить задачу  Коши для уравнения: 

Решение. Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные (делим обе части уравнения на ) и интегрируем:

 – общее решение данного уравнения.

     Используя начальное условие  , находим С:   .

     Тогда искомое решение задачи Коши имеет вид:

                                                Ответ:   
 

2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение. Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Представим его в виде и решим методом Бернулли. Пусть , где - некоторые функции от х. Тогда .

     Уравнение примет вид:

     Найдем  какое-нибудь частное решение уравнения  . Имеем:

.

При С=1 получаем .

      Уравнение (*) примет вид: .

Тогда

Значит, - искомое общее решение.

                                                Ответ:

3. Решить задачу Коши для уравнения: 

Решение. Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:

- корни действительные, различные. 

     Тогда общее решение уравнения запишется  в виде: .

      При имеем: .

      Из  получаем .

      При имеем: .

Решим систему уравнений:

Решение задачи Коши примет вид: .

                                                Ответ:  . 

4. Найти общее решение  дифференциального  уравнения: 

Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение ищем в виде: .

1) Найдем  - общее решение соответствующего однородного уравнения Составим и решим характеристическое уравнение:

- действ. корень кратности 2.

     Тогда общее решение уравнения запишется  в виде: .

2) Частное  решение  неоднородного уравнения будем искать в виде

(т. к.  правая часть уравнения имеет  вид  и не является корнем характеристического уравнения). Имеем:

Подставив в исходное уравнение выражения  для  , получаем:

Тогда . Таким образом, искомое общее решение примет вид:

                              Ответ:  .

Контрольная работа №3

«Линейная алгебра и аналитическая  геометрия»

Вариант №1 

1. Найдя сначала  обратную матрицу  системы уравнений

                  

решить  затем эту систему  методом обратной матрицы.

Решение. Матрица системы уравнений имеет вид: .

     Сначала вычислим ее определитель по правилу  треугольника:

      Найдем  алгебраические дополнения элементов  матрицы А:

      Составляем обратную матрицу:

.

      Решение матричного уравнения  ищем в виде . Имеем:

                                    Ответ:  
 

2. Используя формулы  Крамера, решить  систему уравнений

                        

указав  в ответе отдельно величину определителя ∆ этой системы.

Решение. Вычислим определитель системы по правилу треугольника:

.

Теперь  вычислим определители ,  полученные из определителя ∆ заменой 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно столбцом свободных членов:

По формулам Крамера получаем:

                                          Ответ:  
 

3. Решить методом  Гаусса систему  уравнений: 

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

     

Получаем  систему уравнений: 

     Ответ:  
 

4. Найти уравнение  касательной к  гиперболе   в точке .

Решение. Уравнение  прямой будем искать в виде  .

      Так как точка  принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение , получим тождество или

   (*).

     Прямая  и гипербола  имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Подставив в левую часть второго уравнения вместо у его выражение из первого уравнения, получим:   или  . Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом, или   (**).

     Теперь  для параметров к и в прямой имеем два условия (*) и (**). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий: 

     Подстановкой  вместо в  во второе уравнение его выражения из первого,

получим или , откуда  , тогда , откуда .

Тогда – искомое уравнение касательной.

                                          Ответ: . 
 
 
 

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно плоскости .

Решение. Ищем уравнение плоскости в виде . Две параллельные плоскости имеют общую нормаль. Координаты нормали заданной плоскости Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид: .

      Точка по условию лежит в искомой плоскости. Следовательно, подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости получим тождество: .