Ряды динамики

Оценка параметров (a₀, a₁, a₂, ...) осуществляется следующими методами: 
1) методом избранных точек, 
2) методом наименьших расстояний, 
3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве  расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических  уровней от выравненных:

Для линейной зависимости (f(t)=a₀+a₁t) параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

где k – число  параметров функции, описывающей тенденцию;  
n – число уровней ряда; 

F_факт сравнивается с F_теор при v₁ = (k-1), v₂ = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F_факт > F_теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.

Таким образом, f(t) = у_t = 10,128-0,073t для t= -13, -11, -9, ..., +13, или f(t) = у_t = 11,077-0,1461 для t = 0, 1, ..., 13.

Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: a₀ = 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а₁ = -0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 ‰ ежегодно.

В качестве примера  рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:

Следующий шаг  аналитического выравнивания – оценка надежности уравнения регрессии:

Таким образом, F_теор = 4,747; a = 0,05; v₁ (k-1) = 1; v₂ = (n-k) = 12 и F_теор = 9,330 при a = 0,01, v₁ = 1, v₂ = 12.

F_факт > F_теор, и уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию.