Решение уравнений с комплексными переменными

2. Геометрическое изображение комплексных чисел

 

  Действительные числа можно  изобразить точками прямой линии, как показано на рис.2, где точка K изображает число 5. Это число можно изобразить также отрезком ОK, учитывая не только его длину, но и направление.

   Каждая точка  С “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на “числовой прямой” не остаётся места для комплексных чисел.

   Но комплексные  числа можно изобразить на  “числовой прямой”. Для этого  мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.

Примеры. На рис. 2 точка А с абсциссой  х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В (-4,-5) изображает комплексное число –4 - 5i.

Действительные числа (в комплексной форме они имеют  вид a + 0i) изображают точками оси OХ, а чисто мнимые – точками оси OУ.

 Примеры. Точка  К на рис. 2 изображает действительное число 5, точка L – чисто мнимое число 3i. Начало координат изображает число 0.

 Сопряжённые комплексные  числа изображаются парой точек,  симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А’ на рис. 2 изображают сопряжённые числа  3 +5i   и 3 -5i.

 Комплексные можно изображать  также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число a + bi можно изобразить не только точкой M (рис. 1), но также вектором ОM .

Замечание. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическое истолкование комплексных  чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

          

3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

 

 Абсцисса а и  ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль  r  и аргумент  q. Формулами

                   a = r cos q ,     r=a/cos q         

                   b = r sin q ,     r=b/sin q

r – длина вектора (a+bi) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

 Поэтому всякое  комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0   т.е. z=a+bi  или z=r*cos q + r*sin q

 Это выражение называется  нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

Действия с комплексными числами

1. Сложение комплексных  чисел

 Определение:  Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.

 Это определение  подсказывается правилами действий  с обычными многочленами.

 Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

 Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4.  (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4

 В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются   действительными   числами,   для   которых  справедливы указанные законы.

 

2. Вычитание комплексных  чисел.

 

Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

                                  

3. Умножение комплексных  чисел.

 Определение.  Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число

                                     (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i² = -1.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i ² = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a² + b ²

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Для умножения комплексных  чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный  закон  умножения  по  отношению  к сложению.

                 

4. Деление комплексных  чисел.

 В соответствии  с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

 Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

 

 Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

 Записав дробь (7 –  4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i.  Получим:

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 –  2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

 Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

 Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнений с  комплексными переменными

 

  Рассмотрим сначала  простейшее квадратное уравнение z² = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение: 

1) имеет один корень  z = 0,  если а = 0;

2) имеет два действительных корня   z_1,2 =   _, если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

           На  множестве комплексных чисел  это уравнение всегда имеет корень .

          Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z² = a, если:

1) а = -1;  2) а = -25;  3) а = -3.

1) z² = -1. Так как i² = -1, то это уравнение можно записать в виде z² = i², или z² - i²  = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z₁ = i, z₂ = -i.Ответ. z_1,2 = i.

2) z² = -25.  Учитывая, что i² = -1,преобразуем это уравнение:

z² = (-1)25, 

z² = i² 5², z² - 5² i²= 0,  (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z₁ = 5i, z₂ = -5i.Ответ:

z _1,2 =   5i.

3) z² = -3, z² = i²( )², z² - ( )²i² = 0, (z - i)(z +   i) = 0

Ответ: z_1,2 =   i.

       

 

 

 

 

Вообще уравнение z² = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z_1,2= i.

     Используя  равенство i² = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = 2i, =  i .

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az² + bz + c = 0, где а, b, с - действительные числа, а   0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:  

  Z_1,2  =  .

           Задача 2. Решить уравнение z²-4z+13=0. По формуле             находим: z_1,2 = = = 2 3i.            

           Заметим, что найденные в этой  задаче корни являются сопряженными: z₁=2+3i и z₂=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z₁+z₂=(2+3i)+(2-3i)=4,    z₁z₂=(2+3i)(2-3i)=13.   

Число 4 - это 2-й коэффициент  уравнения z²-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z₁ и z₂  - корни уравнения  az²+bz+c = 0,  z₁+z₂ = ,  z₁z₂ = .  

            Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z₁=-1-2i. 

Второй корень z₂ уравнения является числом, сопряженным с данным    корнем    z_1,  то есть   z₂=-1+2i.  По теореме Виета находим

P=-(z₁+z₂)=2, q=z₁z₂=5.   Ответ z^2-2z+5=0.

 

 

 

 

 

 

Приложение.

 

В качестве приложения я хочу рассмотреть формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы) Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы углов (n*x), где n – любое целое число, через простые функции sin x  и cos x.

Формула:

где i – мнимая часть комплексного числа, i² = -1

Пример:

cos3q + i*sin3q =(cosq + i*sinq)³ = cos³ q + 3i cos² q * sinq + 3i² * cosq * sin² q + i³ sin³ q = cos³ q - 3cosq * sin² q + i*(3cos² q * sinq - sin³ q)

Приравнивая абсциссы и ординаты, получаем:

cos3q = cos³ q - 3cosq * sin² q

sin3q = 3cos² q * sinq - sin³ q

Таким же образом можно  значительно упростить sin4x, cos4x (sin5x, cos5x и т.д.)   до выражений, содержащих sinx и cosx

 

 

 

 

 

 

 

Заключение *

 

Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому  нам расширять свои знания о комплексных  числах, их свойствах и особенностях. Основные элементы учения о комплексных числах рассмотрены мною в данном реферате. 

 

* примечание:

комплексные числа  не входят в базовую школьную программу  алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.

 

 

 

Список  литературы.

 

А.П. Савин “Энциклопедический словарь юного математика”

М.Я. Выгодский  “Справочник по элементарной математике” 

И.С. Петраков “Математические  кружки в 8-10 классах”

М.И. Сканави “Сборник задач по математике (геометрия)”