Решение систем алгебраических уравнений

ТЕМА 1.  РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  ЛИНЕЙНЫХ 

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ

Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

1.7.

Решение. Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка :

.

У нас

 
 

Так как , делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители :

 
 

 
 
 
 
 

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

 

 

Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в левую часть каждого уравнения заданной системы:

 
 

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения  

 

ТЕМА 2.  АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ 

НА  ПЛОСКОСТИ

Даны координаты вершин треугольника .

Найти:

 1) длину стороны ;

2) уравнения  сторон  и , их угловые коэффициенты;

3) внутренний  угол при вершине  в радианах с точностью до 0,01;

4) уравнение  медианы  ;

5) уравнение  и длину высоты  ;

6) уравнение  прямой, проходящей через точку  параллельно прямой и точку ее пересечения с высотой .

Треугольник и все полученные линии построить в системе координат .

		( 4;–3),	(7; 1),	(8; –1).

Решение:

1. Расстояние между точками  и определяется по формуле

                            (1)                            

воспользовавшись которой находим длину стороны :

 

  2. Уравнение  прямой, проходящей через две  заданные точки плоскости 

и , имеет вид

                                        (2)

Подставляя в (2) координаты точек и , получаем уравнение стороны :

 
 

 

       Угловой коэффициент  прямой найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом .

       У нас  , то есть откуда .

       Аналогично получим уравнение  прямой  и найдем ее угловой коэффициент:

 

       Далее 

 

 

       3. Для нахождения внутреннего  угла нашего треугольника воспользуемся  формулой:

                                     (3)

Подставив ранее вычисленные значения и в (3), находим:

 

 

       Теперь, воспользовавшись таблицами  В.М. Брадиса или инженерным микрокалькулятором, получаем.

       4. Для составления уравнения медианы  найдем сначала координаты точки , которая лежит на середине отрезка :

 

 

Подставив в уравнение (2) координаты точек и , получаем уравнение медианы:

 

 
 

      

5. Для  составления уравнения высоты  воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом , которое имеет вид

 

                                     (4)

 

и условием перпендикулярности прямых и , которое выражается соотношением , откуда  

Подставив в (4) вместо значение , а вместо  соответствующие координаты точки , получим уравнение высоты :

 
 
 

Для вычисления длины высоты воспользуемся формулой отыскания расстояния от заданной точки до заданной прямой с уравнением , которая имеет вид

 

                                     (5)  

 

Подставив в (5) вместо координаты точки , а вместо коэффициенты уравнения прямой , получаем

 

 

 

6. Так  как искомая прямая параллельна прямой , то . Подставив в уравнение (4) вместо координаты точки , а вместо значение , получаем уравнение прямой :

 

 

            

Для отыскания координат точки решаем совместно уравнения прямых и :

 

  

 

  Таким образом,

Треугольник , высота , медиана , прямая и точка построены в системе координат на рис. 1.                                            

Рис. 1

ТЕМА 3.  ВЕКТОРНАЯ  АЛГЕБРА  И  АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ  В  ПРОСТРАНСТВЕ

Даны координаты вершин пирамиды .

Требуется: 1) записать векторы , , в системе орт ,  ,    и найти модули этих векторов;  2) найти угол между векторами , ;  3) найти проекцию вектора на вектор ;  4) найти площадь грани ;  5) найти объем пирамиды ;  6) составить уравнение ребра ;  7) составить уравнение грани .