Решение сфероидических треугольников

     Решение сферических треугольников 

     Решение сферических треугольников, с точки  зрения теории, не вызывает никаких затруднений и может быть выполнено с необходимой степенью точности по различным формулам сферической тригонометрии.

     В геодезии, в большинстве случаев, приходится решать треугольники, у которых известны: либо три угла и одна сторона (триангуляция), либо три стороны (триллатерация). Для таких случаев наиболее простым будет применение при решении формул синусов и косинусов сторон сферической тригонометрии.

     

     Рис. 3

     Выражая стороны сферического треугольника (рис.3) в частях радиуса сферы:

     

     при заданных углах  А, В, D и стороне а, находим:

     

                                                                                             

                                                                                                                           (9) 
 

     или

                                                                                 (10)

     Если  в треугольнике известны все стороны, то на основании теоремы косинуса стороны, будем иметь:

                                                                            (11)

     или

                                                                     (12)

     Совершенно  очевидно, приведенные алгоритмы - это  не единственный путь решения сферических треугольников.  Возможно использование и других формул сферической тригонометрии при решении тех же треугольников и с теми же самыми исходными данными.

     На  практике решение треугольников  непосредственно по формулам сферической тригонометрии удобно и оправдано в том случае, если это решение выполняется на ЭВМ. Если же оно ведется  в ручную - не по программе на ЭВМ, а с использованием настольных средств вычислительной техники, то решение, непосредственно, по формулам сферической тригонометрии становится практически громоздким. Действительно, в этом случае приходится с большой степенью точности вычислять ряд вспомогательных величин (R, a/R, sin (a/R), sin (b/R)), которые в конечном итоге не нужны.

     Для решения малых сферических треугольников с использованием настольной вычислительной техники разработаны два способа: способ аддитаментов и способ решения сферических треугольников c применением теоремы Лежандра. 
 
 

Способ  аддитаментов 

     Суть  способа заключается в замене решения сферического треугольника решением плоского с углами, равными углам сферического треугольника, и измененной (на аддитамент) исходной стороной с последующим введением в полученные из решения плоского треугольника стороны поправок (аддитаментов).

     Рассмотрим  теоретические основы этого способа.

     Полагая, что стороны сферического треугольника - малые величины   (S < 200 км), по сравнению с радиусом сферы, разложим синусы сторон в выражении (9) в ряд, ограничиваясь членами пятого порядка малости:

     

     Откуда, с той же степенью точности, .находим

                                                             (13)

     где

     

     Обозначая:

                                                                                                    (14)

     тогда выражение (13) примет вид: 

                                                                               (15)

     или                                                    

            

     где

                                                                                     (16)

     По  аналогии, без вывода, можно написать формулы и для вычисления стороны d:

                                                                                     (17)

     Формулы (14)-(17) позволяют решать сферические треугольники со сторонами S < 250 км. При этом ошибки вычисления сторон не будут превосходить 0.0005 м.

     Если  стороны треугольников не превышают 100 км, то, при той же точности  вычисления, в  формулах (14) - (17) можно отбросить малые поправочные члены и вычисления вести по формулам:

                                                                                      (18)

     Рабочие формулы:

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     R=6371116 м 
 
 
 

 
 
 

Решение сферических треугольников  с применением  теоремы Лежандра 

     В 1787 г. А. Лежандр доказал теорему, которая в последующем была положена в основу решения сферических треугольников со сторонами, не превышающими 200 - 220 км. Достоинством такого решения является то, что в этом случае решение сферического треугольника заменяется решением плоского треугольника со сторонами, равными соответствующим сторонам сферического треугольника, но измененными углами. Изменения сферических углов при переходе к углам плоского треугольника вычисляются на основании теоремы Лежандра, которая гласит: если сферический треугольник заменить плоским с теми же сторонами, то углы плоского треугольника будут равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным, на одну треть сферического избытка. 
 

Доказательство  теоремы Лежандра 

     Пусть дан сферический треугольник  ABD (рис. 3) и соответствующий ему плоский треугольник A'B'D' (рис. 4) с теми же сторонами, но отличными углами А', В', D'.

     Напишем очевидное соотношение

          

               (19) 

     

     _{Рис. 4}

     Если  соответствующие стороны сферического и плоского треугольников равны и не превосходят 200 км, то, вероятно, для сферы радиуса R = R_ср = (MN)^1/2 углы сферического и плоского треугольников будут отличаться на небольшие  величины. Исходя из этого примем с ошибкой на  величины второго   порядка  малости (если за первый порядок принять А - А'):

                                                                                   (20)

     И тогда из (19) с учетом (20), находим

     

     Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями:

     

 

получаем

 ( формула Герона )

     После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем:

                                                                                                   (21) 

     Можно по аналогии написать формулы для разностей (В - В') и (D -D'):

                                                                                                   (22) 
 

     Суммируя  левые и правые части выражений (21) и (22), находим для треугольника:

                                                                   (23) 

     С учетом равенства (23), формулы (21) и (22) можно представить в следующем виде:   

                                                                                                  (24)

     которые и выражают теорему Лежандра.

     Если  при разложении синусов в ряд  удерживались бы члены пятого порядка малости, то в результате были бы получены более точные формулы:

                                                                             (25)

     Где                                  

     Сравнивая формулы (24) и (25) приходим к выводу, что сферические треугольники со сторонами S < 250 км можно решать по формулам (24), т.к. поправочные члены

     

     При этом сферический избыток при сторонах 90 км < S < 250 км, следует вычислять по формуле (25), а при сторонах S <90 км -по формуле (23). 
 
 

     Рабочие формулы: